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Favard (costanti di)

Analisi 

D. Jackson dimostrò che data una funzione periodica f(x), che nell’intervallo [0 .. 2π] sia continua e con tutte le derivate sino alla m-esima non superiori a 1 in valore assoluto, esiste un polinomio trigonometrico Polinomio trigonometrico di grado n tale che Diseguaglianza di Jackson per ogni valore di x (diseguaglianza di Jackson), dove Kn è una costante ed è la migliore possibile, nel senso che per valori inferiori si possono trovare controesempi.

 

Tali costanti sono dette “costanti di Favard” dal nome del matematico francese Jean Favard (Peyrat-la-Nonière, 28/8/1902 – La Tronche, 21/1/1965) o “costanti di Achieser – Krein – Favard”, in omaggio ai contributi dei matematici russi Naum Ilyich Akhiezer (6/3/1901 – 3/6/1980) e Mark Grigorievich Krein (3/4/1907 – 17/10/1989).

 

Le costanti entrano in gioco nella diseguaglianza di Landau – Kolmogorov: data una funzione f(x) definita per ogni argomento reale, che sia ovunque continua con tutte le derivate sino alla m-esima, allora Diseguaglianza di Landau – Kolmogorov, dove f(n)(x) indica la derivata n-esima della funzione, per 1 ≤ k < nm.

Landau dimostrò che C(2, 1) = 2 e Kolmogorov che Formula per il valore di C(n, k) e che questi valori sono i migliori possibili, cioè esistono controesempi se vengono ridotti.

 

Giocano un ruolo analogo a quello delle costanti di Lebesgue, quando si cerchi il polinomio che rende minimo il valore assoluto della differenza rispetto alla funzione da approssimare, mentre nel caso delle costanti di Lebesgue le serie di Fourier rendono minima la differenza tra le due funzioni nel senso dei minimi quadrati.

 

Le costanti sono date dalla formula Formula per il calcolo delle costanti di Favard, ma possono essere calcolate pià semplicemente come Formula per il calcolo delle costanti di Favard di indice pari per n pari e Formula per il calcolo delle costanti di Favard di indice dispari per n dispari. Di conseguenza Kn è un multiplo razionale di πn.

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

Kn

0

1

1

Costante di Favard K(1)

2

Costante di Favard K(2)

3

Costante di Favard K(3)

4

Costante di Favard K(4)

5

Costante di Favard K(5)

6

Costante di Favard K(6)

7

Costante di Favard K(7)

8

Costante di Favard K(8)

9

Costante di Favard K(9)

10

Costante di Favard K(10)

11

Costante di Favard K(11)

12

Costante di Favard K(12)

13

Costante di Favard K(13)

14

Costante di Favard K(14)

15

Costante di Favard K(15)

16

Costante di Favard K(16)

17

Costante di Favard K(17)

18

Costante di Favard K(18)

19

Costante di Favard K(19)

20

Costante di Favard K(20)

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della costante K1.

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