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Mertens (costante di)

Teoria dei numeri 

La costante di Mertens, talvolta chiamata anche “costante di Meissel – Mertens” o “costante di Kronecker”, “costante di Hadamard – de la Vallee Poussin” o “costante del reciproco dei primi”, si indica con B1 ed è definita in modo analogo a γ, sommando però i reciproci dei numeri primi: Formula per la definizione della costante B1 di Mertens, dove la somma va calcolata sui numeri primi minori di n.

 

Eulero dimostrò che la somma dei reciproci dei numeri primi diverge; in particolare Limite inferiore per la somma dei primi minori di n. Ernst Meissel (Eberswalde, Germania, 31/7/1826 – Kiel, Germania, 11/3/1895) nel 1866 e Franz Mertens (Środa, allora Prussia, oggi Polonia, 20/3/1840 – Vienna, 5/3/1927) nel 1874 dimostrarono indipendentemente che la somma dei reciproci dei primi minori di n tende a loglogn + B1.

 

Altre formule che coinvolgono la costante:

Formula che coinvolge la costante B1 (Rosser e Schoenfeld 1962);

Formula che coinvolge la costante B1 (Flajolet and Vardi 1996);

Formula che coinvolge la costante B1.

 

G. Niklasch ne calcolò 1000 cifre nel 1999 e P. Sebah 4050 nel 2000, poi lo stesso Sebah portò il record a 8010 nel 2001.

 

Alle voci espansione di Engel e frazioni continue si trovano ottime approssimazioni della costante.

 

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante B1 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Strettamente legata alla costante di Mertens è la costante Formula per la definizione della costante B2, anche perché Formula che coinvolge la costante B2.

Una formula più efficiente per il calcolo della costante è Formula per il calcolo della costante B2.

 

Qui trovate le prime 102 cifre decimali della costante B2 (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Strettamente legata alla costante di Mertens è anche la costante Formula per la definizione della costante B9, dove la somma va calcolata sui numeri primi minori di n.

Alcune formule che coinvolgono la costante:

Formula che coinvolge la costante B3;

Formula che coinvolge la costante B3;

Formula che coinvolge la costante B3.

 

Qui trovate le prime 160 cifre decimali della costante B3 (David Broadhurst).

 

Se nella formula per B1 consideriamo solo i primi appartenenti a una progressione aritmetica ak + b, con a e b primi tra loro, otteniamo: Limite calcolato sui primi della forma ak + b; si può dimostrare che tale limite esiste ed è finito per qualsiasi valore di a e b.

In particolare per i primi della forma 4k + 1 vale Limite calcolato sui primi della forma 4k + 1 e per quelli della forma 4k + 3 vale Limite calcolato sui primi della forma 4k + 3, dove K è la costante di Landau – Ramanujan.

 

La tabella seguente mostra il valore dei limiti per primi di alcune forme (A. Languasco e A. Zaccagnini, 2009).

Forma

Limite approssimato

2k + 1

–0.2385027872

3k + 1

–0.3568904795

3k + 2

0.2850543590

4k + 1

–0.2867420562

4k + 3

0.0482392691

5k + 1

–0.2088344500

5k + 2

0.3960964764

5k + 3

0.1386504040

5k + 4

–0.2644152176

6k + 1

–0.3568904795

6k + 5

–0.2149456410

 

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