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Euleriani (numeri) (I)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Valori

Il numero euleriano Numero euleriano E(n, k) è il numero di permutazioni dei primi n interi con esattamente k numeri seguiti da uno minore. Per esempio, Numero euleriano E(3, 2), perché solo nelle permutazioni { 1, 3, 2 }, { 2, 1, 3 }, { 2, 3, 1 } e { 3, 1, 2 } c’è esattamente un numero seguito da uno minore.

 

Con la ricorrenza Ricorrenza per il calcolo dei numeri euleriani, per 0 < k < n, si possono calcolare i numeri euleriani con un triangolo, simile a quello di Tartaglia (v. coefficienti binomiali), riportato di seguito.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

11

 

11

 

1

 

0

 

 

 

 

 

1

 

26

 

66

 

26

 

1

 

0

 

 

 

1

 

57

 

302

 

302

 

57

 

1

 

0

 

1

 

120

 

1191

 

2416

 

1191

 

120

 

1

 

0

Ogni numero è la somma dei due immediatamente superiori, moltiplicati per nk + 1 e k + 1.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri euleriani.

Valore del numero euleriano E(0, 0) e Valore del numero euleriano E(n, n), per n > 0;

Valore del numero euleriano E(n, 0), per n > 0;

Formula per il calcolo del numero euleriano E(n, 1), per n > 1;

Formula per il calcolo del numero euleriano E(n, 2), per n > 2;

Formula per il calcolo del numero euleriano E(n, 3), per n > 3;

Numero euleriano E(n, k);

Formula per il calcolo del numero euleriano E(n, k);

Formula per il calcolo del numero euleriano E(n – 1, k – 1), dove Numero euleriano generalizzato E(n, k, ∞) è un numero euleriano generalizzato.

 

Alcune formule che coinvolgono numeri euleriani:

Formula per la somma di numeri euleriani;

Formula per la somma di numeri euleriani a segni alternati, prendendo B1 con segno positivo;

Somma che coinvolge numeri euleriani, prendendo B1 con segno positivo;

Somma che coinvolge numeri euleriani, per n > 1;

Somma che coinvolge numeri euleriani (identità di Worpitzky, 1883), da cui segue Somma di potenze calcolata tramite numeri euleriani, una formula per la somma di potenze di interi più semplice di quella di Faulhaber (v. numeri di Bernoulli); la formula si estende a somme di somme di potenze come Somma di somme di potenze calcolata tramite numeri euleriani, Somma di somme di potenze calcolata tramite numeri euleriani e più in generale se il membro di sinistra è formato da t somme una dentro l’altra, quello di destra diviene Somma di somme di potenze calcolata tramite numeri euleriani (P.A. Piza, 1948);

Somma che coinvolge numeri euleriani;

Somma che coinvolge numeri euleriani;

Somma che coinvolge numeri euleriani, dove W(n, k) è un numero di Worpitzky;

Somma che coinvolge numeri euleriani, dove En è un polinomio euleriano;

Somma che coinvolge numeri euleriani, dove W(n, k) è un numero di Worpitzky;

Somma che coinvolge numeri euleriani, dove W(n, k) è un numero di Worpitzky;

Somma che coinvolge numeri euleriani.

 

Emeric Deutsch e Bruce E. Sagan dimostrarono nel 2004 che Congruenza che coinvolge numeri euleriani, se n – 1 si rappresenta in base 3 senza cifre 2; Congruenza che coinvolge numeri eulerianialtrimenti, mentre Congruenza che coinvolge numeri euleriani è uguale a:

  • 1, se n = 3k + 1 e k si rappresenta in base 3 senza cifre 2;

  • 2, se n = 3k o n = 3k + 2 e k si rappresenta in base 3 senza cifre 2;

  • 0 altrimenti.

 

Se p è primo, Congruenza che coinvolge numeri euleriani.

 

La funzione generatrice esponenziale è data da Formula per la funzione generatrice esponenziale dei numeri euleriani, dove la somma converge per |x| < 1 e |z| < 1.

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