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Esamorfi centrati (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Pickover propose di chiamare esamorfi centrati i numeri che rappresentati in notazione decimale costituiscono la parte finale del corrispondente numero esagonale centrato Hn, come 17, perché H17 = 817.

Pickover dimostrò che sono infiniti notando che se k = 5(0)n1, Hk = 75(0)n – 115(0)n1 e se k = 1(6)n7, Hk = 8(3)n1(6)n7, dove (d)n rappresenta n ripetizioni della cifra d. Per esempio, H5001 = 75015001 e H1667 = 8331667.

 

Più in generale:

  • in ogni base pari 2k sono esamorfi centrati tutti i numeri della forma k(0)n1;

  • in ogni base della forma 3k + 1 sono esamorfi centrati tutti i numeri della forma (a)nb, dove a = 2k e b = 2k + 1;

  • in ogni base della forma 3k + 2 sono esamorfi centrati tutti i numeri della forma (ka)nb, e a(ka)nb, dove a = 2k + 1 e b = k + 1.

 

Non esistono numeri esamorfi centrati, a parte i casi banali 0 e 1, nelle basi che sono potenze di 3.

 

I numeri esamorfi centrati di k cifre terminano con un numero esamorfo centrato di k – 1 cifre, quindi se non ne esistono di una cifra, non ne esiste nessuno.

 

La tabella riporta i numeri esamorfi centrati inferiori a 109 nelle basi fino a 20, escludendo i casi banali 0 e 1.

Base

Numeri esamorfi centrati

2

112 = 3, 1012 = 5, 1112 = 7, 10012 = 9, 10112 = 11, 100012 = 17, 110112 = 27, 1000012 = 33, 1010112 = 43, 10000012 = 65, 11010112 = 107, 100000012 = 129, 101010112 = 171, 1000000012 = 257, 1101010112 = 427, 10000000012 = 513, 10101010112 = 683, 100000000012 = 1025, 110101010112 = 1707, 1000000000012 = 2049, 1010101010112 = 2731, 10000000000012 = 4097, 11010101010112 = 6827, 100000000000012 = 8193, 101010101010112 = 10923, 1000000000000012 = 16384, 1101010101010112 = 27307, 10000000000000012 = 32769, 10101010101010112 = 43691, 100000000000000012 = 65537, 110101010101010112 = 109227, 1000000000000000012 = 131073, 1010101010101010112 = 174763, 10000000000000000012 = 262145, 11010101010101010112 = 436907, 100000000000000000012 = 524289, 101010101010101010112 = 699051, 1000000000000000000012 = 1048577, 1101010101010101010112 = 1747627, 10000000000000000000012 = 2097153, 10101010101010101010112 = 2796203, 100000000000000000000012 = 4194305, 110101010101010101010112 = 6990507, 1000000000000000000000012 = 8388609, 1010101010101010101010112 = 11184811, 10000000000000000000000012 = 16777217, 11010101010101010101010112 = 27962027, 100000000000000000000000012 = 33554433, 101010101010101010101010112 = 44739243, 1000000000000000000000000012 = 67108865, 1101010101010101010101010112 = 111848107, 10000000000000000000000000012 = 134217729, 10101010101010101010101010112 = 178956971, 100000000000000000000000000012 = 268435457, 110101010101010101010101010112 = 447392427, 1000000000000000000000000000012 = 536870913, 1010101010101010101010101010112 = 715827883

3

Nessuno

4

34 = 3, 214 = 9, 234 = 11, 2014 = 33, 2234 = 43, 20014 = 129, 22234 = 171, 200014 = 513, 222234 = 683, 2000014 = 2049, 2222234 = 2731, 20000014 = 8193, 22222234 = 10923, 200000014 = 32769, 222222234 = 43691, 2000000014 = 131073, 2222222234 = 174763, 20000000014 = 524289, 22222222234 = 699051, 200000000014 = 2097153, 222222222234 = 2796203, 2000000000014 = 8388609, 2222222222234 = 11184811, 20000000000014 = 33554433, 22222222222234 = 44739243, 200000000000014 = 134217729, 222222222222234 = 178956971, 2000000000000014 = 536870913, 2222222222222234 = 715827883

5

25 = 2, 325 = 17, 1325 = 42, 31325 = 417, 131325 = 1042, 3131325 = 10417, 13131325 = 26042, 313131325 = 260417, 1313131325 = 651042, 31313131325 = 6510417, 131313131325 = 16276042, 3131313131325 = 162760417, 13131313131325 = 406901042

6

316 = 19, 1316 = 55, 3016 = 109, 4316 = 163, 30016 = 349, 34316 = 811, 234316 = 3403, 300016 = 3889, 6251, 534316 = 7291, 2234316 = 18955, 3000016 = 23329, 5234316 = 42283, 25234316 = 135595, 30000016 = 139969, 5234316 = 275563, 225234316 = 695467, 300000016 = 839809, 25234316 = 1535275, 2225234316 = 4054699, 3000000016 = 5038849, 225234316 = 9093547, 22225234316 = 24210091, 30000000016 = 30233089, 52225234316 = 54443179, 22225234316 = 84676267, 300000000016 = 181398529, 422225234316 = 266074795, 2422225234316 = 991668907

7

57 = 5, 457 = 33, 4457 = 229, 44457 = 1601, 444457 = 11205, 4444457 = 78433, 44444457 = 549029, 444444457 = 3843201, 4444444457 = 26902405, 44444444457 = 188316833

8

38 = 3, 58 = 5, 78 = 7, 138 = 11, 418 = 33, 538 = 43, 2538 = 171, 4018 = 257, 6538 = 427, 12538 = 683, 40018 = 2049, 52538 = 2731, 252538 = 10923, 400018 = 16384, 652538 = 27307, 252538 = 43691, 4000018 = 131073, 5252538 = 174763, 25252538 = 699051, 40000018 = 1048577, 65252538 = 1747627, 125252538 = 2796203, 400000018 = 8388609, 525252538 = 11184811, 2525252538 = 44739243, 4000000018 = 67108865, 6525252538 = 111848107, 12525252538 = 178956971, 40000000018 = 536870913, 52525252538 = 715827883

9

Nessuno

10

7, 17, 51, 67, 167, 251, 417, 501, 667, 751, 917, 1251, 1667, 5001, 5417, 6251, 6667, 10417, 16667, 50001, 56251, 60417, 66667, 166667, 260417, 406251, 500001, 666667, 760417, 906251, 1406251, 1666667, 5000001, 5260417, 6406251, 6666667, 16666667, 25260417, 41406251, 50000001, 66666667, 75260417, 91406251, 166666667, 191406251, 475260417, 500000001, 666666667, 691406251, 975260417

11

411 = 4, 7411 = 81, 37411 = 444, 737411 = 9761, 3737411 = 53684, 73737411 = 1181041, 373737411 = 6495724, 7373737411 = 142905921, 37373737411 = 785982564

12

712 = 7, 1712 = 19, 6112 = 73, 7712 = 91, 57712 = 811, 60112 = 865, B7712 = 1675, 600112 = 10369, 657712 = 11179, 3657712 = 11179, 6000112 = 124417, 9657712 = 197803, 13657712 = 322219, 60000112 = 1492993, 73657712 = 1815211, 213657712 = 6294187, 600000112 = 17915905, 813657712 = 24210091, 3813657712 = 131705515, 6000000112 = 214990849, 9813657712 = 346696363

13

913 = 9, 8913 = 113, 88913 = 1465, 888913 = 19041, 8888913 = 247529, 88888913 = 3217873, 888888913 = 41832345, 8888888913 = 543820481

14

514 = 5, 2514 = 33, 7114 = 99, 9514 = 131, 37114 = 687, 49514 = 915, 70114 = 1373, 82514 = 1601, A7114 = 2059, B9514 = 2287, 1A7114 = 4803, 249514 = 6403, 700114 = 19209, 782514 = 20809, 8A7114 = 24011, 949514 = 25611, 2082514 = 78433, 28A7114 = 174763, 4949514 = 179275, 7000114 = 268913, 9082514 = 347345, 98A7114 = 369755, B949514 = 448187, 228A7114 = 1176491, 24949514 = 1254923, 70000114 = 3764769, 72082514 = 3843201, 928A7114 = 4941259, 94949514 = 5019691, 4228A7114 = 31294635, 494949514 = 35137835, 700000114 = 52706753, 772082514 = 56549953, B228A7114 = 84001387, B94949514 = 87844587, 24228A7114 = 242121643, 2494949514 = 245964843, 7000000114 = 737894529, 7072082514 = 741737729, 94228A7114 = 980016171, 9494949514 = 983859371

15

715 = 7, E715 = 217, CE715 = 2917, C0CE715 = 610417, 1C0CE715 = 1369792, B1C0CE715 = 126666667

16

316 = 3, 916 = 9, B16 = 11, 2B16 = 43, 8116 = 129, AB16 = 171, 2AB16 = 683, 80116 = 2049, AAB16 = 2731, 2AAB16 = 10923, 800116 = 32769, AAAB16 = 43691, 2AAAB16 = 174763, 8000116 = 524289, AAAAB16 = 699051, 2AAAAB16 = 2796203, 80000116 = 8388609, AAAAAB16 = 11184811, 2AAAAAB16 = 44739243, 800000116 = 134217729, AAAAAAB16 = 178956971, 2AAAAAAB16 = 715827883

17

617 = 6, B617 = 193, 5B617 = 193, B5B617 = 55681, 5B5B617 = 473286, B5B5B617 = 16091713, 5B5B5B617 = 136779558

18

9118 = 163, 49118 = 1459, 90118 = 2917, D9118 = 4375, 249118 = 13123, 900118 = 52489, B49118 = 65611, 5B49118 = 590491, 9000118 = 944785, EB49118 = 1535275, 2EB49118 = 5314411, 90000118 = 17006113, BEB49118 = 22320523, 82EB49118 = 277412203, 900000118 = 306110017, H2EB49118 = 583522219

19

D19 = 13, CD19 = 241, CCD19 = 4573, CCCD19 = 86881, CCCCD19 = 1650733, CCCCCD19 = 31363921, CCCCCCD19 = 595914493

20

720 = 7, B20 = 11, H20 = 17, 2B20 = 51, 3720 = 67, A120 = 201, AH20 = 217, CB20 = 251, D720 = 267, 10H20 = 417, 5CB20 = 2251, 6D720 = 2667, A0120 = 4001, B0H20 = 4417, FCB20 = 6251, GD720 = 6667, 36D720 = 26667, 5FCB20 = 46251, 7B0H20 = 60417, A00120 = 80001, D6D720 = 106667, FFCB20 = 126251, HB0H20 = 140417, 65FCB20 = 1006251, 6D6D720 = 106667, A000120 = 1600001, A7B0H20 = 1660417, G5FCB20 = 2606251, GD6D720 = 2666667, 107B0H20 = 3260417, 265FCB20 = 7406251, 36D6D720 = 10666667, A0000120 = 32000001, B07B0H20 = 35260417, C65FCB20 = 39406251, D6D6D720 = 42666667, 6D6D6D720 = 426666667, 8107B0H20 = 515260417, 8C65FCB20 = 551406251, A00000120 = 640000001

 

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