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Esagonali (numeri)

Numeri figurati 

Un numero si dice “esagonale” se è il numero di palline che possono essere disposte a formare i lati di esagoni via via più grandi, ciascuno con due lati in comune col precedente, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri esagonali

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente poligonali.

 

L’n-esimo numero esagonale è En = 2n2 – n = n(2n – 1).

 

Ogni numero esagonale è anche triangolare, di indice dispari, e uguale alla somma di 4 numeri triangolari: En = T2n – 1 = Tn + 3Tn – 1.

Inoltre En = 2Tn – 1 + n2 (F. Maurolycus, 1575).

 

Per stabilire se un intero n sia esagonale, basta calcolare Espressione per stabilire se un numero è esagonale: il risultato è intero se e solo se n è esagonale.

 

Per le somme dei numeri esagonali e dei loro reciproci valgono le formule seguenti, nelle quali C è la costante di Catalan:

Formula per la somma di numeri esagonali;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri esagonali;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri esagonali;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri esagonali;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri esagonali;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri esagonali;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri esagonali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri esagonali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri esagonali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri esagonali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri esagonali a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri esagonali e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri esagonali.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri esagonali.

n

En

1

1

2

6

3

15

4

28

5

45

6

66

7

91

8

120

9

153

10

190

11

231

12

276

13

325

14

378

15

435

16

496

17

561

18

630

19

703

20

780

 

Per numeri esagonali uguali alla somma di due numeri esagonali v. numeri poligonali.

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di al massimo 6 numeri esagonali.

Legendre dimostrò nel 1830 che ogni numero maggiore di 1791 può essere espresso come somma di al massimo 4 numeri esagonali.

Duke e Schulze-Pillot dimostrarono nel 1990 che ne bastano 3 per interi sufficientemente grandi; non è tuttavia noto quale sia il massimo intero che ne richieda 4.

Servono più di 4 addendi per: 5, 10, 11, 20, 25, 26, 38, 39, 54, 65, 70, 114 e 130; tra questi solo 11 = 6 + 5 • 1 e 26 = 6 • 4 + 2 • 1 ne richiedono 6.

 

Ogni intero positivo può essere espresso come somma di numeri esagonali differenti, tranne: 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 47, 48, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 83, 84, 85, 86, 90, 93, 96, 99, 102, 103, 104, 105, 108, 114, 122, 123, 124, 128, 129, 130, 131, 138, 144, 147, 150, 156, 162, 167, 176, 177, 183, 184, 189, 195, 210, 216, 222, 228, 243, 249, 258 e 267.

 

M.A. Nyblom dimostrò nel 1999 che i numeri primi della forma 4n + 1 sono rappresentabili in un solo modo come differenza di numeri esagonali, mentre i numeri primi della forma 4n + 3 non sono rappresentabili come differenza di numeri esagonali. 

 

Shoichi Hirose dimostrò nel 1981 che esistonono infiniti numeri esagonali che sono contemporaneamente somma, differenza e prodotto di due numeri esagonali maggiori di 1 (v. numeri poligonali): se an si ottiene dalla ricorrenza a0 = 38; a1 = 145058, an + 2 = 3842an + 1an – 960 e bn dalla ricorrenza b0 = 10; b1 = 37454, bn + 2 = 3842bn + 1bn – 960, allora Formula per un numero esagonale che è somma, differenza e prodotto di due numeri esagonali. Per esempio, per n = 0 abbiamo E38 = E15 + E35 = E39E9 = E3E10.

 

Un numero esagonale maggiore di 1 non può essere un cubo o una quarta potenza (Eulero, 1738). Michael A. Bennett, Kálmán Györy e Ákos Pintér dimostrarono nel 2004 che non può essere una qualsiasi potenza con esponente maggiore di 2.

 

Nessun numero esagonale è primo.

 

Per numeri esagonali appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

Tabelle numeriche

I primi 1000 numeri esagonali.

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