Un numero si dice “esagonale” se è il numero di palline che possono essere disposte a formare i lati di esagoni via via più grandi, ciascuno con due lati in comune col precedente, come mostra la figura seguente.
Sono quindi numeri figurati, più precisamente poligonali.
L’n-esimo numero esagonale è En = 2n2 – n = n(2n – 1).
Ogni numero esagonale è anche triangolare, di indice dispari, e uguale alla somma di 4 numeri triangolari: En = T2n – 1 = Tn + 3Tn – 1.
Inoltre En = 2Tn – 1 + n2 (F. Maurolycus, 1575).
Per stabilire se un intero n sia esagonale, basta calcolare : il risultato è intero se e solo se n è esagonale.
Per le somme dei numeri esagonali e dei loro reciproci valgono le formule seguenti, nelle quali C è la costante di Catalan:
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La funzione generatrice è e la funzione generatrice esponenziale è
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La tabella seguente mostra i primi 20 numeri esagonali.
n |
En |
1 |
1 |
2 |
6 |
3 |
15 |
4 |
28 |
5 |
45 |
6 |
66 |
7 |
91 |
8 |
120 |
9 |
153 |
10 |
190 |
11 |
231 |
12 |
276 |
13 |
325 |
14 |
378 |
15 |
435 |
16 |
496 |
17 |
561 |
18 |
630 |
19 |
703 |
20 |
780 |
Per numeri esagonali uguali alla somma di due numeri esagonali v. numeri poligonali.
Ogni intero positivo si può esprimere come somma di al massimo 6 numeri esagonali.
Legendre dimostrò nel 1830 che ogni numero maggiore di 1791 può essere espresso come somma di al massimo 4 numeri esagonali.
Duke e Schulze-Pillot dimostrarono nel 1990 che ne bastano 3 per interi sufficientemente grandi; non è tuttavia noto quale sia il massimo intero che ne richieda 4.
Servono più di 4 addendi per: 5, 10, 11, 20, 25, 26, 38, 39, 54, 65, 70, 114 e 130; tra questi solo 11 = 6 + 5 • 1 e 26 = 6 • 4 + 2 • 1 ne richiedono 6.
Ogni intero positivo può essere espresso come somma di numeri esagonali differenti, tranne: 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 47, 48, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 83, 84, 85, 86, 90, 93, 96, 99, 102, 103, 104, 105, 108, 114, 122, 123, 124, 128, 129, 130, 131, 138, 144, 147, 150, 156, 162, 167, 176, 177, 183, 184, 189, 195, 210, 216, 222, 228, 243, 249, 258 e 267.
M.A. Nyblom dimostrò nel 1999 che i numeri primi della forma 4n + 1 sono rappresentabili in un solo modo come differenza di numeri esagonali, mentre i numeri primi della forma 4n + 3 non sono rappresentabili come differenza di numeri esagonali.
Shoichi Hirose dimostrò nel 1981 che esistonono infiniti numeri esagonali che sono contemporaneamente somma, differenza e prodotto di due numeri esagonali maggiori di 1 (v. numeri poligonali): se an si ottiene dalla ricorrenza a0 = 38; a1 = 145058, an + 2 = 3842an + 1 – an – 960 e bn dalla ricorrenza b0 = 10; b1 = 37454, bn + 2 = 3842bn + 1 – bn – 960, allora . Per esempio, per n = 0 abbiamo E38 = E15 + E35 = E39 – E9 = E3E10.
Un numero esagonale maggiore di 1 non può essere un cubo o una quarta potenza (Eulero, 1738). Michael A. Bennett, Kálmán Györy e Ákos Pintér dimostrarono nel 2004 che non può essere una qualsiasi potenza con esponente maggiore di 2.
Nessun numero esagonale è primo.
Per numeri esagonali appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.