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Poligonali (numeri)

Numeri figurati 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori e proprietà
  4. 4. Espressione di interi come somma di numeri poligonali
  5. 5. Proprietà legate alle cifre

Un numero si dice “poligonale” se è il numero di palline che possono essere disposte a formare i lati di poligoni regolari via via più grandi, ciascuno con due lati in comune col precedente.

La figura seguente mostra un esempio, con i numeri ettagonali.

Raffigurazione dei numeri ettagonali

 

Sono quindi numeri figurati.

 

L’n-esimo numero p-gonale è dato dalla formula, risalente a Diofanto, Formula per i numeri poligonali per p > 2.

 

Ogni numero p-gonale si può ottenere come somma di p – 2 numeri triangolariFormula per il calcolo dei numeri poligonali (Bachet, 1618).

 

Ogni numero p-gonale si può ottenere come somma dell’indice e di p – 2 numeri triangolari con indice immediatamente precedente: Formula per il calcolo dei numeri poligonali.

 

Un modo per calcolare l’n-esimo numero p-gonale è sommare un intero ogni p – 2, iniziando da 2. Per esempio, sommando un intero ogni 3, vale a dire 1, 4, 7, 10, 13 ecc., si ottengono i numeri pentagonali 1, 5, 12, 22, 35 ecc..

 

L’interesse per i numeri poligonali è antichissimo.

 

Gli antichi Greci (e probabilmente anche altri popoli) utilizzavano sassolini come supporto per i calcoli e le distribuzioni regolari di tali sassolini probabilmente originarono l’idea dei numeri poligonali. Diofanto attribuisce il merito delle prime indagini a Ipsicle, nel 170 a.C..

In seguito attrassero l’attenzione di illustri matematici, dal Rinascimento ai giorni nostri.

 

Nicomaco intorno al 100 d.C. dimostrò che Formula per il calcolo dei numeri poligonali, vale a dire che la differenza tra due numeri poligonali relativi a numeri di lati consecutivi, con lo stesso numero di palline per lato, è un numero triangolare.

 

Diofanto dimostrò intorno al 250 che Formula che coinvolge numeri poligonali.

 

F. Maurolycus riportò nel 1575 alcune formule, probabilmente note nell’antichità, quali: Formula che coinvolge numeri pentagonaliFormula che coinvolge numeri esagonali.

Nei secoli sono state trovate numerose formule analoghe, quali:

Formula che coinvolge numeri poligonali;

Formula che coinvolge numeri poligonali;

Formula che coinvolge numeri poligonali.

 

Bachet scrisse nel 1618 due libri sui numeri poligonali.

Bibliografia

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.

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