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Errori di stampa (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Sono chiamati “errori di stampa” o “numeri straordinari” i numeri naturali che mantengono lo stesso valore se alcune cifre diventano esponenti, come 2592 = 2592.

 

La prima traccia che abbia trovato risale al 1917, quando H.E. Dudeney in Amusement in Mathematics pose il problema di trovare numeri del genere, asserendo nella soluzione che ve n’è uno solo con 4 cifre. Per trovare altri esempi si dovette attendere l’avvento dei calcolatori elettronici.

 

Con questa definizione ristretta sono noti gli errori di stampa riportati nella tabella seguente.

Numero cifre

Errori di stampa

4

2592 = 2592 (H.E. Dudeney)

5

34425 = 34425 (D.L. Vanderpool)

6

312325 = 312325 (D.L. Vanderpool), 492205 = 492205 (B.J. van der Zwaag)

7

3472875 = 3472875 (B.J. van der Zwaag)

8

10744475 = 10744475 (B.J. van der Zwaag), 13745725 = 13745725 (B.J. van der Zwaag), 13942125 = 13942125 (B.J. van der Zwaag), 14569245 = 14569245, 14706125 = 14706125, 16746975 = 16746975 (B.J. van der Zwaag), 19748225 = 19748225 (B.J. van der Zwaag), 60466176 = 60466176

9

189637632 = 189637632, 373156875 = 373156875, 381358125 = 381358125, 514155276 = 514155276, 684204032 = 684204032 = 684204032

10

1268929233 = 1268929233, 1297080225 = 1297080225, 1368408064 = 1368408064, 1527672265 = 1527672265 (E. Friedman), 1688502272 = 1688502272, 1810317675 = 1810317675 = 1810317675, 1897434555 = 1897434555, 3010514445 = 3010514445 = 3010514445, 4185097875 = 4185097875 (E. Friedman), 9509900499 = 9509900499

12

117457820375 = 117457820375 (E. Friedman), 153487826625 = 153487826625 (E. Friedman), 189517832875 = 189517832875 (E. Friedman),

13

1133204930325 = 1133204930325 (E. Friedman), 1328763571296 = 1328763571296 (E. Friedman), 1856389843125 = 1856389843125 (E. Friedman)

20

30720022524580620385 = 30720022524580620385 (E. Friedman), 8446744073709551616 = 18446744073709551616 (E. Friedman)

 

Notevoli i casi di 684204032, 1810317675 e 3010514445, che possono essere errore di stampa in due modi diversi, anche se molto simili.

L’elenco è sicuramente completo sino a numeri di 10 cifre.

 

La definizione si può naturalmente generalizzare ad altre basi; la tabella seguente riassume gli esempi noti, dovuti, salvo diversa indicazione, a Berend Jan van der Zwaag (fattori ed esponenti si intendono rappresentati nella base data).

Base

Errori di stampa

2

11110101 = 11110101, 11011000110 = 11011000110, 111100111101101 = 111100111101101

3

2210212 = 2210212, 1122221122 = 1122221122, 111101100110 = 111101100110

4

13222 = 13222, 1212012 = 1212012, 13213231 = 13213231

5

 

6

24 = 24, 11253 = 11253, 25221 = 25221

7

113465 = 113465

8

33 = 33, 1326 = 1326, 114706 = 114706

9

738222 = 738222, 51232874 = 51232874 (D. Wilson)

10

 

11

3518 = 3518

12

346 = 346, 2525 = 2525, 13299 = 13299

13

1584A = 1584A

14

 

15

 

16

1338C = 1338C

17

20A4 = 20A4

18

26C = 26C, 53D9 = 53D9, 1D2A9 = 1D2A9

19

 

20

34G = 34G, 7414 = 7414, 132HA = 132HA

 

Tra gli “errori di stampa” si conoscono pochissimi esempi che potrebbero sembrare normali scomposizioni in fattori primi, nei quali le basi sono primi distinti e gli esponenti maggiori di zero; tra questi non ve n’è nessuno in base 10.

I casi noti sono:

  • 11110101 = 11110101 in base 2, che in base 10 equivale a 245 = 725;

  • 24 = 24 in base 6, che in base 10 equivale a 16 = 24;

  • 25221= 25221 in base 6, che in base 10 equivale a 3757 = 17213;

  • 33 = 33 in base 8, che in base 10 equivale a 27 = 33;

  • 3518 = 3518 in base 11, che in base 10 equivale a 4617 = 3519;

  • 2525 = 2525 in base 11, che in base 10 equivale a 4205 = 2925.

Da notare che quelli con più di un fattore primo i fattori non sono mai in ordine crescente: la caccia a un esempio “perfetto” del genere è tuttora aperta.

 

In qualsiasi base i numeri che non terminano con cifre che diventano parte di esponente permettono di generare una sequenza infinita di numeri del genere, aggiungendo a piacere zeri in fondo. Per esempio, da 34425 si ottengono 344250 = 344250, 3442500 = 3442500 eccetera. Escludendo questo caso, nessuno ha dimostrato che questi numeri siano infiniti, come l’evidenza sperimentale suggerisce.

 

Si può ammettere anche la possibilità di sottintendere la moltiplicazione tra alcune cifre, includendo nella categoria anche numeri come 177373875 = 1 • 7 • 7373875, allargando notevolmente l’insieme. In questo caso si può considerare errore di stampa anche 3514829760 = 351482 • 9760, unico errore di stampa pandigitale di 10 cifre esistente.

 

John Horton Conway propose di restringere la definizione: partendo da un numero scritto come abcdef lo si riscrive come abcdef, ossia si considerano alternativamente le cifre come basi ed esponenti, con le convenzioni aggiuntive che se il numero di cifre è dispari, l’ultimo esponente è 1 e che 00 = 1.

Generalmente il numero ottenuto è minore di quello di partenza, ma non sempre e ripetendo la procedura di solito si arriva a un numero di una sola cifra o zero. Per esempio, iniziando da 234567 otteniamo 234567 = 2293235712, 2293235712 = 1822500000, 1822500000 = 4.

Che io sappia però non è stato dimostrato che sia sempre così e si potrebbe finire in un ciclo che si ripete o potrebbero esistere numeri a partire dai quali si producono numeri sempre maggiori, senza alcun limite.

Conway chiese se oltre al noto “errore di stampa” 2592 = 2592, esistessero altri numeri che producano se stessi e Sloane trovò 24547284284866560000000000 = 24547284284866560000000000, dichiarandosi convinto che non ne esistano altri.

 

Se l’operazione viene eseguita iniziando da destra, si conoscono due soli esempi: 25 = 52 e 107495424 = 424594701; è possibile che non ve ne siano altri.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Dudeney, Henry Ernest;  Amusement in Mathematics, Thomas Nelson & Sons, 1917 -

    il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.

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