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Erdös – Lebensold (costante di)

Sequenze 

Una sequenza ak di interi positivi si dice “primitiva” se nessun elemento è multiplo di uno dei precedenti (come per esempio nel caso dei numeri abbondanti primitivi).

 

Una sequenza primitiva di interi minori di n può contenere al massimo Numero massimo di elementi della sequenza elementi (p. es., gli interi da Minimo elemento della sequenza a n); quanto può essere grande, al massimo, la somma dei loro reciproci? La risposta, non ovvia, è Valore massimo della somma dei reciproci, dove il massimo è su tutte le sequenze primitive finite.

 

Le cose cambiano per le sequenze infinite: la loro densità asintotica non esiste necessariamente, potendo oscillare tra due valori, ed esistono sequenze con densità asintotica arbitrariamente vicina a Limite superiore per la densità asintotica. La somma dei reciproci soddisfa invece Limite per la somma dei reciproci (P. Erdös, A. Sárkozy e E. Szeméredi 1967).

 

Erdös dimostrò nel 1935 che per ogni sequenza primitiva S, tranne quella formata dal solo 1, Somma del reciproco del prodotto dei termini moltiplicati per il loro logaritmo converge a un limite finito, che non può superare 1.84, e suppose che il limite possa essere ridotto a Limite superiore per la somma. Il valore del limite si chiama “costante di Erdös – Lebensold” ed è tuttora sconosciuto.

 

D. A. Clark ridusse nel 1995 il limite superiore a eγ ≈ 1.7810724180.

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