Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Smarandache (costanti di)

Teoria dei numeri 

A partire dalla funzione di Smarandache μ(n) (II) sono state definite alcune costanti, indicate con Sn e dette “costanti di Smarandache”, da non confondere con “la” costante di Smarandache:

  • Formula per la definizione di S1; Ion Cojocaru e Sorin Cojocaru dimostrarono nel 1996 che il valore esiste ed è compreso tra 0.717 e 1.253; in seguito altri determinarono che il valore è circa 1.0931704592;

  • Formula per la definizione di S2; Ion Cojocaru e Sorin Cojocaru dimostrarono nel 1996 che il valore esiste ed è irrazionale; in seguito altri determinarono che il valore è circa 0.7199607000;

  • Formula per la definizione di S3; Ion Cojocaru e Sorin Cojocaru dimostrarono nel 1996 che il valore esiste ed è maggiore di 0.71 e minore di 1.01;

  • Formula per la definizione di S4(a); Ion Cojocaru e Sorin Cojocaru dimostrarono nel 1996 che la serie converge per ogni valore reale di a non inferiore a 1; si tratta in realtà di una funzione, non di una costante;

  • Formula per la definizione di S5; dimostrata irrazionale da Jozsef Sandor nel 1997;

  • Formula per la definizione di S6; Emil Burton dimostrò nel 1995 che la serie converge a un valore compreso tra 1 / sqrt(e^3) e 1 / 2; in seguito altri determinarono che il valore è circa 0.4993927857;

  • Formula per la definizione di S7(r); C. Dumitrescu e V. Seleacu dimostrarono nel 1996 che la serie converge per qualsiasi valore intero non negativo di r; si tratta in realtà di una funzione, non di una costante;

  • Formula per la definizione di S8(r); C. Dumitrescu e V. Seleacu dimostrarono nel 1996 che la serie converge per qualsiasi valore intero di r maggiore di zero; si tratta in realtà di una funzione, non di una costante;

  • Formula per la definizione di S9; C. Dumitrescu e V. Seleacu dimostrarono nel 1996 che la serie converge;

  • Formula per la definizione di S10(a); Emil Burton dimostrò nel 1996 che la serie converge per qualsiasi valore reale di a maggiore di 1; si tratta in realtà di una funzione, non di una costante;

  • Formula per la definizione di S11(a); Emil Burton dimostrò nel 1996 che la serie converge per qualsiasi valore reale di a maggiore di 1; si tratta in realtà di una funzione, non di una costante;

  • Formula per la definizione di S12(f), dove f è una funzione con argomenti interi maggiori di zero, tale che Condizione che deve essere soddisfatta dalla funzione f; Emil Burton dimostrò nel 1996 che la serie converge per qualsiasi funzione f, se a e c sono costanti maggiori di 1; si tratta in realtà di una funzione, non di una costante;

  • Formula per la definizione di S13; Emil Burton dimostrò nel 1996 che la serie converge;

  • Formula per la definizione di S14(a); Emil Burton dimostrò nel 1996 che la serie converge per qualsiasi valore reale di a maggiore di 1; si tratta in realtà di una funzione, non di una costante;

  • Formula per la definizione di S15; Emil Burton dimostrò nel 1996 che la serie converge;

  • Formula per la definizione di S16(a); Emil Burton dimostrò nel 1996 che la serie converge per qualsiasi valore reale di a maggiore di 1 e diverge per a minore o uguale a 1; si tratta in realtà di una funzione, non di una costante.

 

Qui trovate le prime 99 cifre decimali di S1 (Charles T. Le, Robert G. Wilson V e Don Reble, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 74 cifre decimali di S2 (Charles T. Le e R.J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di S3 (Charles T. Le e Franklin T. Adams-Watters, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di S5 (M. Fiorentini, 2015).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di S6 (M. Fiorentini, 2015).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di S9 (M. Fiorentini, 2015).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di S13 (M. Fiorentini, 2015).

Qui trovate le prime 101 cifre decimali di S15 (M. Fiorentini, 2015).

 

La tabella seguente mostra i valori della funzione S4(a), per a intero da 1 a 20.

a

S4(a)

1

1.7287576053

2

4.5025120062

3

13.0111441949

4

42.4818449850

5

158.1054637293

6

669.5548999720

7

3195.8517784129

8

16970.6884805715

9

98953.5494592711

10

626338.6642061114

11

4263673.3324221557

12

30983046.7632094124

13

238896682.5390545072

14

1944717491.7772983652

15

16642150593.3963364271

16

149178882414.7060483427

17

1396600348475.1821853191

18

13623880093693.9602804973

19

138242412579416.8721434853

20

1457301548129983.9289595876

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di S4(1) (Charles T. Le e Franklin T. Adams-Watters, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di S4(2) (Charles T. Le e Franklin T. Adams-Watters, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di S4(3) (Charles T. Le e Franklin T. Adams-Watters, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La tabella seguente mostra i valori delle funzioni S5(r) e S6(r), per r intero da 0 a 20.

r

S5(r)

S6(r)

0

2.714006293591616022727743845419033754831597921718957409001215

2.71400629359161602273

1

0.999392785706370980802445643824734538446617388200173462738766

5.41068162103953428363

2

0.114975912132780516738821152638037922392701323212211967194235

8.02356846286937846895

3

0.005094635272257114661746042468194901009409017008475767687971

10.33461300663209714516

4

0.000113996473393658560891536382126477257824479095080684315591

11.89259741793710889017

5

0.000001468351565134617427773430132278790038255491906041377023

12.47474803751791721867

6

0.000000007437902080082001237845518780548074346657203275282267

13.30832440537121011348

7

0.000000000083656667083490318898760357585449373942969901795857

15.34458986238801492908

8

0.000000000000208921129164939394314996679523460463339672793820

14.61924541714982175226

9

0.000000000000000982867080587186254219680191455096385197002139

17.77524512647606986157

10

0.000000000000000002274534363003713243328186903126322091380725

20.51190909757959508557

11

0.000000000000000000009962614218976702959022059914142516058702

22.95028884948947338328

12

0.000000000000000000000007302891806669742357566319522919335720

21.73725009027977328736

13

0.000000000000000000000000032894752648619383967143004122177477

24.28592467134282569834

14

0.000000000000000000000000000023549435150247553524939552324970

18.25033758079628294140

15

0.000000000000000000000000000000019644975651515165168339933076

21.34582265633424830210

16

0.000000000000000000000000000000000024782297244382878212285528

29.45330519411583663682

17

0.000000000000000000000000000000000000058213787090776286672487

33.74969131952409081297

18

0.000000000000000000000000000000000000000017519676193017830679

29.32455624246975365436

19

0.000000000000000000000000000000000000000000036581348969972018

30.34171894140274784940

20

0.000000000000000000000000000000000000000000000006345550390177

21.60343030366143496485

 

La tabella seguente mostra i valori delle funzioni S10(a), S11(a) e S14(a), per a intero da 2 a 20.

r

S10(a)

S11(a)

S14(a)

2

0.35548885229687968404

0.18490513809179226159

0.35706842514335649851

3

0.13831848286299499769

0.07462004611971546086

0.12205142697981231731

4

0.05877837536619201866

0.03250819323086896289

0.04325151575268106776

5

0.02650613164953868248

0.01489545284680151857

0.01579911884785879835

6

0.01241643989512000763

0.00704758930660320730

0.00591695210208919541

7

0.00595686904708771306

0.00340220130439827943

0.00226122139671906346

8

0.00290088012044758310

0.00166325890204556268

0.00087830237977178740

9

0.00142602528021599377

0.00081964004791981099

0.00034561735440451016

10

0.00070521095399781166

0.00040597068153264156

0.00013742687274663410

11

0.00035008477933468110

0.00020173729623012884

0.00005510344575768015

12

0.00017422130554469941

0.00010046107247360965

0.00002224384375509480

13

0.00008684158773103003

0.00005009672411406905

0.00000902828573534765

14

0.00004333223242382251

0.00002500425731077503

0.00000368061897741674

15

0.00002163687151300841

0.00001248754949344206

0.00000150592125816740

16

0.00001080875530551634

0.00000623894515993297

0.00000061796741588689

17

0.00000540116755271394

0.00000311787015848466

0.00000025420380789098

18

0.00000269951787721372

0.00000155840278065989

0.00000010477712196519

19

0.00000134940466354748

0.00000077902441433169

0.00000004325816751908

20

0.00000067458449448991

0.00000038945332866580

0.00000001788396769472

 

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