Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pratici (numeri)

Teoria dei numeri 

Nel 1948 A.K. Srinivasen propose di chiamare “pratici” gli interi n tali che ogni intero inferiore a n si possa esprimere come somma di divisori distinti di n.

 

L’interesse per i numeri pratici nacque però molto prima, perché se n è pratico, si può esprimere una frazione con n a denominatore come somma di frazioni distinte della forma d / n, dove d è un divisore di n, che si semplificano divenendo frazioni egizie distinte. Per esempio, 20 è pratico e Rappresentazione di 13 / 20 come somma di frazioni egizie. Questa proprietà spinse Fibonacci a utilizzarli nel Liber Abaci (1202) per rappresentare frazioni come somme di frazioni egizie. Fibonacci stilò tavole di rappresentazioni del genere utilizzando i numeri pratici 6, 8, 12, 20, 24, 60, e 100.

 

Sono numeri pratici, tra gli altri:

  • le potenze di 2;

  • i numeri della forma 2n – 1(2n – 1) e in particolare sono pratici i numeri perfetti pari;

  • i fattoriali (A. Galletti e K.P.S. Bhaskara Rao);

  • i primoriali (Srinivasen, 1948);

  • i numeri altamente composti (Srinivasen, 1948);

  • i prodotti di due o più numeri pratici;

  • i minimi comuni multipli di due o più numeri pratici (M. Margenstern, 1984);

  • i prodotti di un numero pratico per un suo fattore primo e in particolare sono pratici i prodotti di potenze dei primi n numeri primi, per ogni valore di n.

 

I numeri pratici fino a 1000 sono: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 176, 180, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 224, 228, 234, 240, 252, 256, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 288, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 352, 360, 364, 368, 378, 380, 384, 390, 392, 396, 400, 408, 414, 416, 420, 432, 440, 448, 450, 456, 460, 462, 464, 468, 476, 480, 486, 496, 500, 504, 510, 512, 520, 522, 528, 532, 540, 544, 546, 552, 558, 560, 570, 576, 580, 588, 594, 600, 608, 612, 616, 620, 624, 630, 640, 644, 648, 660, 666, 672, 680, 684, 690, 696, 700, 702, 704, 714, 720, 726, 728, 736, 740, 744, 750, 756, 760, 768, 780, 784, 792, 798, 800, 810, 812, 816, 820, 828, 832, 840, 858, 860, 864, 868, 870, 880, 882, 888, 896, 900, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 936, 952, 960, 966, 968, 972, 980, 984, 990, 992, 1000.

 

Qui trovate i numeri pratici fino a 106.

 

Alcune proprietà:

  • i numeri pratici maggiori di 1 sono multipli di 4 o 6 (Srinivasen, 1948);

  • se n è pratico e m ≤ σ(n) + 1, mn è pratico (B.M. Stewart, 1954);

  • se n è pratico, Limite inferiore per il numero di divisori di un numero pratico (M. Margenstern, 1984);

  • se n è pratico, σ(n) ≥ 2n – 1 (M. Margenstern, 1984);

  • se n è pratico e non è una potenza di 2, è perfetto o abbondante (M. Margenstern, 1984); esistono però numeri abbondanti che non sono pratici, il minimo dei quali è 70;

  • W. Sierpiński (1955) e indipendentemente B.M. Stewart (1954) dimostrarono che un intero è pratico se e solo se ogni intero non superiore a σ(n) si può esprimere come somma di divisori distinti di n;

  • n > 1 è pratico se e solo se è pari e scomponendolo come prodotto di fattori primi Scomposizione di n in fattori primi con p1 < p2 < p3 < .... per ogni fattore primo pm vale Condizione soddisfatta dai fattori primi dei numeri pratici, ossia se ciascun primo è inferiore alla somma dei divisori del prodotto dei fattori inferiori più uno (B.M. Stewart, 1954);

  • n > 1 è pratico se e solo se ogni suo divisore non è maggiore della somma dei divisori inferiori più uno, ovvero, se d1, d2dm sono i divisori in ordine crescente, se vale Condizione soddisfatta dai divisori dei numeri pratici per m da 1 a Massimo intero non superiore a (n + 2) / 2, (D.F. Robinson, 1979);

  • ogni intero maggiore di zero ha infiniti multipli che sono pratici e infiniti multipli che non lo sono;

  • dato un intero n maggiore di zero, un numero pratico è un divisore di n se e solo se divide il massimo divisore pratico di n (M. Margenstern, 1984);

  • la differenza tra due numeri pratici consecutivi pn e pn + 1 non supera 2 * sqrt(p(n)) (M. Hausman e H.N. Shapiro, 1984);

  • i valori di σ(n) / n per n pratico sono densi in [2 .. ∞) (M. Margenstern, 1984);

  • i valori di φ(n) / n per n pratico sono densi in (0 .. 1 / 2) (M. Margenstern, 1984);

  • se n è pratico, Limiti inferiore e superiore per il valore di Ω(n) (M. Margenstern, 1984);

  • se n è pratico, n è un numero di Zumkeller e un numero semi-Zumkeller se e solo se σ(n) è pari (K.P.S. Bhaskara Rao e Yuejian Peng, 2009);

  • ogni numero pratico è uguale a una potenza di 2 per un numero poligonale con indice 3 o 4 (Peter Taylor, 2013).

 

Giuseppe Melfi dimostrò nel 1996 che:

  • ogni intero pari può essere espresso come somma di due numeri pratici (congettura proposta da M. Margenstern nel 1984); come conseguenza ogni numero pari può essere espresso come 2^m * Pr(x) + 2^n * Ps(y), cioè come somma di due numeri poligonali moltiplicati per potenze di 2, con x e y uguali a 3 o 4;

  • il numero p2(n) di coppie di numeri pratici con differenza 2, detti “numeri pratici gemelli”, non superiori a n soddisfa per n abbastanza grande la relazione P2(n) > n / e^(k * sqrt(log(n)), con  k costante maggiore di k > 2 + log(3 / 2);

  • esistono infinite terne di numeri pratici della forma n – 2, n, n + 2; in particolare se n = 2 • 33k • 70, per qualsiasi valore intero di k si ottiene una terna di numeri pratici (congettura proposta da M. Margenstern nel 1984);

  • tutte le sequenze definite da una relazione di ricorrenza del tipo a0 = 0, a1 = 1, an = pan – 1qan – 2, con p2 – 4q > 0 e pq + p pari contengono infiniti numeri pratici; in particolare, vi sono infiniti numeri pratici nelle sequenze di Fibonacci e Pell; tranne F3, i primi numeri di Fibonacci pratici hanno un indice che è un numero pratico; il successivo numero di Fibonacci pratico con indice non pratico è F444;

  • tutte le sequenze definite da una relazione di ricorrenza del tipo a0 = 2, a1 = p, an = pan – 1 + an – 2, con p > 0, tali che esista un intero k per il quale a35k è pratico, contengono infiniti numeri pratici; in particolare, vi sono infiniti numeri pratici nelle sequenze di Lucas (I) e di Pell – Lucas;

  • per n abbastanza grande, la differenza tra due numeri pratici consecutivi pn e pn + 1 è minore di K * sqrt(p(n) / log(log(p(n)))), con K costante non superiore a 4 / sqrt(e^γ).

 

I numeri pratici sembrano godere di alcune proprietà dei numeri primi:

  • esistono sequenze arbitrariamente lunghe di numeri pratici consecutivi (M. Margenstern, 1984);

  • un teorema analogo al teorema di Dirichlet per i numeri primi afferma che condizione necessaria e sufficiente perché una progressione aritmetica del tipo an + b contenga infiniti numeri pratici è che a / MCD(a, b) non sia divisibile per almeno uno dei primi minori del massimo divisore pratico comune di a e b (M. Margenstern, 1984).

Per quanto riguarda il numero p(n) dei numeri pratici non superiori a n, Erdös dimostrò nel 1950 che i numeri pratici hanno densità asintotica nulla e M. Margenstern avanzò nel 1984 la congettura che p(n) tenda al numero di primi inferiori a n, moltiplicato per una costante, ossia che tenda a c * π(n) = c * n / log(n), per una costante c, che Margenstern suppose vicina a 1.341.

G. Tenenbaum dimostrò nel 1986 e nel 1995 che p(n) per n tendente a infinito soddisfa la relazione Limiti inferiore e superiore per il valore di p(n), per ε piccolo a piacere.

E. Saias dimostrò nel 1997 che esistono due costanti c1 e c2 tali che Limiti inferiore e superiore per il valore di p(n).

Infine A. Weingartner dimostrò nel 2015 la congettura di Margenstern, pur senza determinare esattamente la costante c.

 

Sono anzi state trovate dimostrazioni per affermazioni che nel caso dei numeri primi sono ancora solo congetture:

  • ogni intero pari si può esprimere come somma di due numeri pratici (Melfi, 1966); l’affermazione equivalente per i numeri primi, cioè la congettura di Golbach, non è ancora stata dimostrata;

  • vi sono infiniti numeri pratici tra i numeri di Fibonacci, Pell, Lucas e Pell – Lucas (Melfi, 1966); le affermazione equivalenti per i numeri primi non sono ancora state dimostrate;

  • vi è almeno un numero pratico tra due quadrati consecutivi; l’affermazione equivalente per i numeri primi, cioè la congettura di Legendre (II), non è ancora stata dimostrata;

  • esistono infinite coppie di numeri pratici gemelli, ossia con differenza 2 (M. Margenstern, 1984); l’affermazione equivalente per i numeri primi, cioè la congettura dei primi gemelli, non è ancora stata dimostrata;

  • esistono infinite coppie di numeri pratici con differenza uguale a un intero pari fissato n (M. Margenstern, 1984); l’affermazione equivalente per i numeri primi, cioè la congettura di de Polignac(II), non è ancora stata dimostrata.

 

Per quanto riguarda i numeri pratici gemelli, Margenstern avanzò nel 1984 la congettura che il numero di coppie minori di n tenda a c * n / log(n)^2, per una costante c; Melfi dimostrò nel 2002 che sono almeno x / e^(k * sqrt(log(n)), per una costante k e x abbastanza grande e che per m > 28 esiste un numero pratico n tale che n + 2 sia pratico e che n ≤ m ≤ 3 / 2 * n.

 

Le coppie di numeri pratici gemelli inferiori a 1000 sono:

2, 4;

4, 6;

6, 8;

16, 18;

18, 20;

28, 30;

30, 32;

40, 42;

54, 56:

64, 66;

78, 80;

88, 90;

126, 128;

160, 162;

196, 198;

198, 200;

208, 210;

270, 272;

304, 306;

306, 308;

340, 342;

378, 380;

390, 392;

414, 416;

448, 450;

460, 462;

462, 464;

510, 512;

520, 522;

544, 546;

558, 560;

700, 702;

702, 704;

726, 728;

798, 800;

810, 812;

858, 860;

868, 870;

880, 882;

918, 920;

928, 930;

966, 968;

990, 992.

Qui trovate i numeri pratici gemelli fino a 107.

 

Le terne di numeri pratici pari consecutivi inferiori a 10000 sono:

2, 4, 6;

4, 6, 8;

16, 18, 20;

28, 30, 32;

196, 198, 200;

304, 306, 308;

460, 462, 464;

700, 702, 704;

1480, 1482, 1484;

2548, 2550, 2552;

3328, 3330, 3332;

4420, 4422, 4424;

5776, 5778, 5780;

6100, 6102, 6104;

6496, 6498, 6500;

9040, 9042, 9044.

Qui trovate le terne di numeri pratici pari consecutivi fino a 109 (3.2 Mbyte) (M. Fiorentini, 2016).

 

Se n è pari e maggiore di 2, almeno uno degli interi n, n + 2, n + 4 e n + 6 non è pratico (M. Margenstern, 1991), quindi l’unica quadrupla di interi (pari) pratici consecutivi è costituita da 2, 4, 6 e 8; Melfi avanzò tuttavia la congettura che esistano infiniti quintetti di numeri pratici della forma n – 6, n – 2, n, n + 2, n + 6.

 

I quintetti inferiori a 106 sono:

12, 16, 18, 20, 24;

24, 28, 30, 32, 36;

192, 196, 198, 200, 204;

300, 304, 306, 308, 312;

456, 460, 462, 464, 468;

1476, 1480, 1482, 1484, 1488;

2544, 2548, 2550, 2552, 2556;

4416, 4420, 4422, 4424, 4428;

17292, 17296, 17298, 17300, 17304;

23316, 23320, 23322, 23324, 23328;

23544, 23548, 23550, 23552, 23556;

40344, 40348, 40350, 40352, 40356;

52572, 52576, 52578, 52580, 52584;

67932, 67936, 67938, 67940, 67944;

88500, 88504, 88506, 88508, 88512;

92196, 92200, 92202, 92204, 92208;

96216, 96220, 96222, 96224, 96228;

123000, 123004, 123006, 123008, 123012;

131064, 131068, 131070, 131072, 131076;

219096, 219100, 219102, 219104, 219108;

226176, 226180, 226182, 226184, 226188;

237684, 237688, 237690, 237692, 237696;

277500, 277504, 277506, 277508, 277512;

312696, 312700, 312702, 312704, 312708;

359652, 359656, 359658, 359660, 359664;

432816, 432820, 432822, 432824, 432828;

526872, 526876, 526878, 526880, 526884;

533364, 533368, 533370, 533372, 533376;

584160, 584164, 584166, 584168, 584172;

659928, 659932, 659934, 659936, 659940.

Qui trovate i quintetti di numeri pratici fino a 109 (M. Fiorentini, 2016).

 

Nel 2013 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che se pn è l’n-esimo numero pratico, la sequenza p(n)^(1 / n) sia strettamente decrescente per n > 1 e tenda a 1. Il fatto che tenda a 1 è una conseguenza delle dimostrazioni di Saias e Weingartner; resta da dimostrare che sia strettamente decrescente.

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni numero razionale r esista una rappresentazione come Rappresentazione di r come somma di frazioni egizie con denominatore pratico, dove i vari qn sono numeri pratici distinti (v. frazioni egizie). Lo stesso Sun verificò la congettura per i numeri razionali da 0 a 1 con denominatori fino a 30.

Bibliografia

  • Melfi, Giuseppe;  "On two conjectures about practical numbers" in Journal of Number Theory, n. 56, pag. 205 – 210, 1996.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.