Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Primi vicini a potenze di due
  3. 3. Proprietà delle cifre delle potenze di due

Le ultime n cifre delle potenze di 2 si ripetono con periodo 4 • 5n – 1; per esempio, le ultime 2 cifre si ripetono ogni 20 potenze.

 

Le uniche potenze di 2 note che si scrivano con cifre tutte pari sono: 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23, 64 = 24, 2048 = 211; se ve ne sono altre (cosa estremamente improbabile), l’esponente è maggiore di 7725895275426.

 

L’unica potenza di 2 nota che si scriva con cifre che sono potenze di due e richieda più di una cifra è 128 = 27.

 

La minima potenza di 2 che contenga tutte le cifre è 268 = 295147905179352825856.

 

La tabella seguente riporta gli esponenti delle potenze di 2 note che non contengano una data cifra. Dato che il numero di cifre aumenta all’aumentare dell’esponente e che sono state esaminate potenze con esponenti fino almeno a un milione per tutte le cifre (M. Fiorentini, 2012) e fino a 46000000 per la cifra zero (M. Cook, 1997), è molto probabile che tutte le potenze superiori a quelle elencate contengano la cifra indicata. In particolare, è molto probabile che tutte le potenze con esponente superiore a 168 contengano tutte le cifre.

Cifra

Esponente

0

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 25, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 49, 51, 67, 72, 76, 77, 81, 86

1

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 15, 16, 19, 23, 25, 28, 32, 33, 35, 38, 43, 52, 56, 59, 63, 66, 73, 91

2

2, 3, 4, 6, 12, 14, 16, 20, 22, 23, 26, 34, 35, 36, 39, 42, 46, 54, 64, 74, 83, 168

3

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 32, 34, 38, 40, 44, 48, 50, 53, 57, 60, 80, 91, 92, 102, 153

4

1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 15, 16, 17, 21, 23, 24, 29, 40, 41, 43, 55, 69, 75, 85, 107

5

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 22, 23, 24, 26, 27, 30, 31, 32, 34, 36, 38, 43, 46, 55, 62, 65, 66, 71

6

1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 21, 22, 25, 27, 30, 33, 37, 39, 41, 45, 47, 53, 54, 57, 90, 93

7

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 22, 23, 25, 28, 33, 41, 42, 49, 50, 54, 61, 71

8

1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18, 21, 22, 24, 25, 32, 40, 41, 49, 52, 53, 56, 73, 78

9

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 45, 46, 47, 57, 58, 59, 71, 77, 99, 108

 

La tabella seguente riporta l’esponente della prima potenza di due che contenga n zeri consecutivi.

n

Esponente

0

0

1

10

2

53

3

242

4

377

5

1491

6

1492

7

6801

8

14007

9

100823

10

559940

11

1148303

12

4036338

13

4036339

14

53619497

15

119476156

16

146226201

17

918583174

 

I minimi valori di k tali che 2k termini con le ultime n cifre di k sono mostrati nella tabella seguente (Jon Schoenfield, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

k

1

14

2

36

3

736

4

8736

5

48736

6

948736

7

2948736

8

32948736

9

432948736

10

3432948736

11

53432948736

12

353432948736

13

5353432948736

14

75353432948736

15

1075353432948736

16

5075353432948736

17

15075353432948736

18

615075353432948736

19

8615075353432948736

20

98615075353432948736

21

1098615075353432948736

22

8098615075353432948736

23

38098615075353432948736

24

338098615075353432948736

25

3338098615075353432948736

26

53338098615075353432948736

27

853338098615075353432948736

28

9853338098615075353432948736

29

59853338098615075353432948736

30

159853338098615075353432948736

31

10159853338098615075353432948736

32

100159853338098615075353432948736

33

600159853338098615075353432948736

34

2600159853338098615075353432948736

35

72600159853338098615075353432948736

36

872600159853338098615075353432948736

37

6872600159853338098615075353432948736

38

96872600159853338098615075353432948736

39

696872600159853338098615075353432948736

40

8696872600159853338098615075353432948736

41

28696872600159853338098615075353432948736

42

528696872600159853338098615075353432948736

43

5528696872600159853338098615075353432948736

44

45528696872600159853338098615075353432948736

45

145528696872600159853338098615075353432948736

46

10145528696872600159853338098615075353432948736

47

70145528696872600159853338098615075353432948736

48

570145528696872600159853338098615075353432948736

49

4570145528696872600159853338098615075353432948736

50

24570145528696872600159853338098615075353432948736

51

624570145528696872600159853338098615075353432948736

52

8624570145528696872600159853338098615075353432948736

53

28624570145528696872600159853338098615075353432948736

54

628624570145528696872600159853338098615075353432948736

55

1628624570145528696872600159853338098615075353432948736

56

41628624570145528696872600159853338098615075353432948736

57

841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

58

2841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

59

82841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

60

282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

61

1282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

62

21282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

63

121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

64

2121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

65

12121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

66

912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

67

10912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

68

70912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

69

270912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

70

9270912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

71

89270912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

72

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73

5389270912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

74

55389270912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

75

855389270912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

76

9855389270912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

77

89855389270912121282841628624570145528696872600159853338098615075353432948736

78

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79

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80

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Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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