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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Primi vicini a potenze di due
  3. 3. Proprietà delle cifre delle potenze di due

L’unico numero primo pari.

 

Le potenze di 2 sono gli unici numeri naturali che non si possono rappresentare come somma di interi consecutivi.

 

Per informazioni sulla rappresentazione binaria v. rappresentazione dei numeri.

 

Ramanujan congetturò nel 1913 che 2n + 2 – 7 è un quadrato solo per n uguale a: 1, 2, 3, 5 e 13; nel 1958 T. Skolem, S. Chowla e D.J. Lewis dimostrarono la congettura e anche che 2n + k, con k non della forma 8m + 1, può essere un quadrato solo per n uguale a 0, 1 o 2.

Nel 1960 Nagell dimostrò nuovamente la congettura e da allora l’equazione 2n + 2 – 7 = x2 è nota come equazione di Ramanujan – Nagell.

Nel 1978 M. Toyoizumi e Tanahashi dimostrarono indipendentemente che 2n – 7m è un quadrato solo nei casi sopra citati e per n = 9 e m = 3: 29 – 73 = 169 = 132.

 

Naturalmente includo alcune formule per calcolare due e il suo logaritmo:

Serie infinita convergente a 2;

Radicale continuo uguale a un mezzo;

Formula per il calcolo del logaritmo di 2;

Formula per il calcolo del logaritmo di 2.

 

L’equazione x2 = 2x ha tre soluzioni reali: x = 2, x = 4 e Soluzione dell'equazione, che si può anche esprimere come Soluzione dell'equazione; S. Pollack dimostrò nel 1998 che la terza soluzione è trascendente.

 

Se sottraiamo da 105 tutte le potenze di 2 inferiori, da 2 a 64, otteniamo sempre numeri primi. Erdös suppose che gli unici numeri naturali con questa proprietà siano: 4, 7, 15, 21, 45, 75 e 105. Se ne esiste un altro, deve essere un multiplo dispari di 3 • 5 • 11 • 13 • 19 • 29 • 37 • 53 • 59 • 61 • 67 = 558873012475635 (Imran Ghory, 2000), non deve essere un multiplo di altri primi minori di 77 (Pavlos Ask) e deve essere maggiore di 277 (Uchiyama e Yorinaga), limite portato a 2120 da Max Alekseyev nel 2011.

Se si accetta anche 1 come risultato della sottrazione, all’elenco vanno aggiunti 3, 5 e 9.

 

Erdös suppose anche che esistano infiniti numeri naturali tali che se sottraiamo tutte le potenze di 2 inferiori, non otteniamo mai multipli di quadrati. Per esempio, 35 non ha questa proprietà, perché 35 – 8 = 27 = 3 • 32, ma 37 sì, perché 37 – 2 = 35, 37 – 4 = 33, 37 – 8 = 29, 37 – 16 = 21, 37 – 32 = 5 non sono multipli di quadrati.

Gli interi inferiori a 1000 con questa proprietà sono: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 19, 21, 23, 37, 39, 45, 55, 63, 69, 75, 87, 93, 99, 105, 111, 117, 135, 147, 159, 165, 195, 213, 219, 225, 231, 237, 243, 255, 267, 273, 285, 315, 387, 399, 405, 411, 423, 435, 447, 459, 465, 495, 513, 519, 525, 549, 567, 573, 585, 597, 615, 651, 663, 675, 693, 699, 705, 711, 717, 723, 735, 747, 759, 771, 813, 819, 825, 867, 885, 915, 921, 945, 951, 999.

Qui trovate gli interi inferiori a 108 tali che sottraendo tutte le potenze di 2 non superiori, non si ottengono multipli di quadrati (8.1 Mbyte).

 

Tranne 2 e 4 sono tutti dispari, perché per n > 4, se n = 4k, n – 4 è multiplo di un quadrato e se n = 4k + 2, n – 2 è multiplo di un quadrato.

Per tutti i quadrati di primi p2 dei quali 2 è radice primitiva, i numeri di questo genere maggiori di 2p(p – 1) sono multipli di p. Infatti, in tali casi per ogni k tra 1 e p2 non multiplo di p esiste una potenza 2m di 2 non superiore a 2p(p – 1) tale che 2mk mod p2, quindi se nk mod p2, n – 2m è multiplo di p2.

Per esempio, i numeri maggiori di 26 sono multipli di 3 e i numeri maggiori di 220 sono multipli di 5.

 

Il numero di modi per disporre i numeri da 0 a n in fila in modo che ciascuno, tranne quello all’estrema sinistra, differisca di al massimo di 1 da almeno uno dei numeri alla sua sinistra è 2n. Per esempio, per n = 3 vi sono 23 = 8 disposizioni del genere:

  • 0, 1, 2, 3;

  • 1, 0, 2, 3;

  • 1, 2, 0, 3;

  • 1, 2, 3, 0;

  • 2, 1, 0, 3;

  • 2, 1, 3, 0;

  • 2, 3, 1, 0

  • 3, 2, 1, 0.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Winkler, Peter;  Mathematical Puzzles, Wellesley, A.K. Peters Ltd., 2004.

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