Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Primi vicini a potenze di due
  3. 3. Proprietà delle cifre delle potenze di due

Alcuni popoli primitivi conoscevano sono i numerali per indicare uno, due e “tanti”, inteso come “più di due”. Gli Arara dell’Amazzonia utilizzano le parole anane per uno e adak per due, e indicano i numeri superiori ripetendo adak tante volte quante necessarie, aggiungendo poi anane se il numero è dispari. Chiaramente è facile confondersi anche solo provando a pronunciare numeri dell’ordine della dozzina.

 

Il fatto di disporre di pochissime parole per indicare i numeri limita, ma non annulla la capacità di contare, almeno intesa come capacità di percepire la quantità di oggetti: un missionario riferì che gli indiani sudamericani Abipone erano capaci di avvertire la mancanza di un singolo cane, tra le centinaia che accompagnavano la tribù negli spostamenti, pur disponendo di tre soli vocaboli per indicare i numeri. Gli stessi indiani potevano indicare con esattezza il numero di cavalli di una mandria, descrivendo lo spazio che avrebbero occupato, se posti uno accanto all’altro

 

Un’indicazione del fatto che i nostri remoti antenati contavano “uno, due, tanti” resta nel vocabolo che indica tre, affine alla parola che indica oltre (sottinteso due): tres in latino ha la stessa radice di ultra (oltre, appunto) e three in Inglese la stessa di through (attraverso, quindi oltre la barriera rappresentata da due). Analogamente in cinese il numero tre si indica ripetendo tre volte il nome cui si riferisce, in una disposizione triangolare, ma la combinazione assume spesso il significato indeterminato di molti e finisce con l’indicare un concetto astratto legato alla ripetizione: tre alberi indicano una foresta, tre peli una pelliccia, tre cavalli una galoppata (“cavalcare molto”).

 

Tracce di queste modo di contare sopravvissero a lungo in varie lingue; in Greco antico esistono tre numeri per nomi, aggettivi e verbi: singolare, duale e plurale, dove il duale (di uso comunque rarissimo) serviva a indicare appunto due oggetti o persone.

Forme analoghe si trovano in Sanscrito nell’Ebraico della Bibbia e nell’Arabo classico.

 

Nel caso del duale la forma era utilizzata soprattutto quando gli oggetti sono fortemente percepiti come formanti una coppia: in Sanscrito ahani, che indica il giorno, è grammaticalmente un duale, perché indica il dì e la notte. Tale antico uso di forme duali per le coppie persiste in alcuni casi ai giorni nostri, anche in lingue che hanno completamente perso l’uso del duale nella grammatica: in Irlandese, per esempio, súil indica gli occhi, mentre un singolo occhio è indicato con leth-súil, che letteralmente significa “metà degli occhi”.

Forme duali sono sopravvissute a lungo, per esempio in Gotico, antico Tedesco e persino nei pronomi dell’Islandese moderno.

 

Alcune lingue si spinsero fino a considerare il triale per tre oggetti e in alcuni dialetti del Pacifico si arrivò a una forma specifica per quattro (che potremmo chiamare “quaternale”).

 

Il trattamento particolare del numero due si ritrova nei nomi di numeri che indicano il doppio della base numerica comune, di solito 10. In molte lingue, come le lingue semitiche, in particolare Ebraico e Arabo, il numero 20 si forma in modo diverso dalle decine seguenti, spesso indicate come multipli di 10, combinando un numero da 3 a 9 al vocabolo che indica la decina. Persino in Latino viginti (venti) ha una desinenza diversa, in “i”, derivata da un antico duale, rispetto alle decine seguenti, come triginta, che terminano in “a”.

Qualcosa di simile accade in molte lingue per di numeri che indicano due volte una potenza della base, come centinaia e migliaia: 200 e 2000 sono indicati in modo diverso dalle centinaia e migliaia successive.

 

Un altro trattamento peculiare di 1 e 2 si ritrova nei numeri 11 e 12, in molte lingue indicati con vocaboli che significano “dieci più uno” e “dieci più due” e nei numeri 18 e 19, in alcune lingue indicati con vocaboli che significano “venti meno due” e “venti meno uno”, come nel latino duodeviginti e undeviginti. Talvolta l’uso si estende al altri numeri che terminano in 8 o 9, come nel latino duodesexaginta o nel Greco antico δυοῖν δέοντα έξήχοντα (lett. “sessanta mancanti di due”) per 58.

 

In molte lingue antiche il vocabolo che indica due è affine al pronome che indica tu, opposto al vocabolo che indica uno, affine al pronome io; tracce di queste somiglianze restano nelle lingue moderne: si pensi all’Inglese two (due) rispetto al pronome arcaico thou (tu). In Sumero, vagamente maschilista, uno e due indicavano rispettivamente anche uomo e donna.

 

Per una trattazione più approfondita ed erudita del trattamento della dualità nelle varie culture rimando a Number Words and Number Symbols (v. la bibliografia).

 

Due è l’unico numero primo pari.

 

Le potenze di 2 sono gli unici numeri naturali che non si possono rappresentare come somma di interi consecutivi.

 

Per informazioni sulla rappresentazione binaria v. rappresentazione dei numeri.

 

Ramanujan congetturò nel 1913 che 2n + 2 – 7 è un quadrato solo per n uguale a: 1, 2, 3, 5 e 13; nel 1958 T. Skolem, S. Chowla e D.J. Lewis dimostrarono la congettura e anche che 2n + k, con k non della forma 8m + 1, può essere un quadrato solo per n uguale a 0, 1 o 2.

Nel 1960 Nagell dimostrò nuovamente la congettura e da allora l’equazione 2n + 2 – 7 = x2 è nota come equazione di Ramanujan – Nagell.

Nel 1978 M. Toyoizumi e Tanahashi dimostrarono indipendentemente che 2n – 7m è un quadrato solo nei casi sopra citati e per n = 9 e m = 3: 29 – 73 = 169 = 132.

 

Naturalmente includo alcune formule per calcolare due e il suo logaritmo:

Serie infinita convergente a 2;

Radicale continuo uguale a un mezzo;

Formula per il calcolo del logaritmo di 2;

Formula per il calcolo del logaritmo di 2.

 

L’equazione x2 = 2x ha tre soluzioni reali: x = 2, x = 4 e Soluzione dell'equazione, che si può anche esprimere come Soluzione dell'equazione; S. Pollack dimostrò nel 1998 che la terza soluzione è trascendente.

 

Se sottraiamo da 105 tutte le potenze di 2 inferiori, da 2 a 64, otteniamo sempre numeri primi. Erdös suppose che gli unici numeri naturali con questa proprietà siano: 4, 7, 15, 21, 45, 75 e 105. Se ne esiste un altro, deve essere un multiplo dispari di 3 • 5 • 11 • 13 • 19 • 29 • 37 • 53 • 59 • 61 • 67 = 558873012475635 (Imran Ghory, 2000), non deve essere un multiplo di altri primi minori di 77 (Pavlos Ask) e deve essere maggiore di 277 (Uchiyama e Yorinaga), limite portato a 2120 da Max Alekseyev nel 2011.

Se si accetta anche 1 come risultato della sottrazione, all’elenco vanno aggiunti 3, 5 e 9.

 

Erdös suppose anche che esistano infiniti numeri naturali tali che se sottraiamo tutte le potenze di 2 inferiori, non otteniamo mai multipli di quadrati. Per esempio, 35 non ha questa proprietà, perché 35 – 8 = 27 = 3 • 32, ma 37 sì, perché 37 – 2 = 35, 37 – 4 = 33, 37 – 8 = 29, 37 – 16 = 21, 37 – 32 = 5 non sono multipli di quadrati.

Gli interi inferiori a 1000 con questa proprietà sono: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 19, 21, 23, 37, 39, 45, 55, 63, 69, 75, 87, 93, 99, 105, 111, 117, 135, 147, 159, 165, 195, 213, 219, 225, 231, 237, 243, 255, 267, 273, 285, 315, 387, 399, 405, 411, 423, 435, 447, 459, 465, 495, 513, 519, 525, 549, 567, 573, 585, 597, 615, 651, 663, 675, 693, 699, 705, 711, 717, 723, 735, 747, 759, 771, 813, 819, 825, 867, 885, 915, 921, 945, 951, 999.

Qui trovate gli interi inferiori a 108 tali che sottraendo tutte le potenze di 2 non superiori, non si ottengono multipli di quadrati (8.1 Mbyte).

 

Tranne 2 e 4 sono tutti dispari, perché per n > 4, se n = 4k, n – 4 è multiplo di un quadrato e se n = 4k + 2, n – 2 è multiplo di un quadrato.

Per tutti i quadrati di primi p2 dei quali 2 è radice primitiva, i numeri di questo genere maggiori di 2p(p – 1) sono multipli di p. Infatti, in tali casi per ogni k tra 1 e p2 non multiplo di p esiste una potenza 2m di 2 non superiore a 2p(p – 1) tale che 2mk mod p2, quindi se nk mod p2, n – 2m è multiplo di p2.

Per esempio, i numeri maggiori di 26 sono multipli di 3 e i numeri maggiori di 220 sono multipli di 5.

 

Il numero di modi per disporre i numeri da 0 a n in fila in modo che ciascuno, tranne quello all’estrema sinistra, differisca di al massimo di 1 da almeno uno dei numeri alla sua sinistra è 2n. Per esempio, per n = 3 vi sono 23 = 8 disposizioni del genere:

  • 0, 1, 2, 3;

  • 1, 0, 2, 3;

  • 1, 2, 0, 3;

  • 1, 2, 3, 0;

  • 2, 1, 0, 3;

  • 2, 1, 3, 0;

  • 2, 3, 1, 0

  • 3, 2, 1, 0.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Menninger, Karl;  Number Words and Number Symbols, New York, Dover Publications Inc., 1992 -

    Ripubblicazione del testo pubblicato da MIT Press, Cambridge, 1969, trad. di Zahlwort und Ziffer: Eine Kulturgeschichte der Zahlen, Göttingen, Vandenoeck & Ruprecht Publishing Company, 1957-58. Un testo erudito sui termini e simboli usati per rappresentare i numeri.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Winkler, Peter;  Mathematical Puzzles, Wellesley, A.K. Peters Ltd., 2004.

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