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Du Bois-Reymond (costanti di)

Analisi 

Prendono il nome da Paul David Gustav du Bois-Reymond (2/12/1831 – 7/4/1889).

L’n-esima costante di Du Bois Reymond è Formula per le costanti di du Bois-Reymond, per n > 1.

 

L’importanza di queste costanti deriva da un teorema di analisi. Data una somma infinita che oscilla tra due limiti finiti, definiamo Formula per la definizione di s e Formula per la definizione di S; data una funzione f(x) continua e derivabile per x > 0, che tenda a zero per x tendente a zero o a infinito e tale che Formula per la definizione di I sia finito e Formula per la definizione di una serie di funzioni sia convergente per x > 0, allora Limiti inferiore e superiore per la serie di funzioni. Le costanti rappresentano il valore di I – 1 quando Formula per la definizione delle funzioni usate nella definizione delle costanti.

 

Le costanti possono anche essere calcolate tramite la formula Formula per il calcolo delle costanti di du Bois-Reymond, dove i vari xk sono le soluzioni dell’equazione tanx = x.

Da notare la curiosa somma Formula per la somma dei quadrati dei reciproci delle soluzioni.

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

cn

2

0.1945280495

3

0.0282517642

4

0.0052407047

5

0.1056102107

6

0.2206747082 • 10–3

7

0.4693810372 • 10–4

8

0.1007734711 • 10–4

9

0.2174566151 • 10–5

10

0.4705783590 • 10–6

11

0.1019981341 • 10–6

12

0.2212868708 • 10–7

13

0.4803444715 • 10–8

14

0.1043004573 • 10–8

15

0.2265162623 • 10–9

16

0.4919935107 • 10–10

17

0.1068678059 • 10–10

18

0.2321403445 • 10–11

19

0.5042709080 • 10–12

20

0.1095425488 • 10–12

 

Alle voci espansione di Lehmer e frazioni continue si trovano ottime approssimazioni di alcune delle costanti.

 

G.N. Watson dimostrò nel 1933 che se n è pari, le costanti sono esprimibili come un polinomio di grado n in e, con i soli termini di grado pari, a coefficienti razionali.

Per esempio:

  • Formula per la costante c2,

  • Formula per la costante c4,

  • Formula per la costante c6,

  • Formula per la costante c8,

  • Formula per la costante c10,

  • Formula per la costante c12,

  • Formula per la costante c14,

  • Formula per la costante c16.

 

Watson dimostrò anche che c3 può essere ricavata con un complesso integrale, ma non si conoscono espressioni analoghe per le altre costanti di indice dispari.

 

Sempre Watson dimostrò che se n è dispari, la somma Formula analoga a quella per il calcolo delle costanti di du Bois-Reymond ,

analoga a quella per il calcolo delle costanti, è esprimibile come un polinomio di grado n in e a coefficienti razionali. Per esempio, per n = 3 abbiamo Formula per la costante b3.

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