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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Valori

σk(n) è la somma delle k-esime potenze dei divisori di n: Formula per la definizione della funzione σk. Per esempio, σ3(12) = 13 + 23 + 33 + 43 + 63 + 123 = 2044.

Quindi σ1(n) = σ(n) e σ0(n) = d(n).

 

Se Scomposizione di n in fattori primiFormula per il calcolo della funzione σk per k > 0, dove il prodotto va calcolato su tutti i primi che dividono n.

 

Per convenzione Formula per il calcolo di σk(0) per n > 1 e in particolare:

  • Valore di σ0(0);

  • Valore di σ1(0);

  • Valore di σ3(0);

  • Valore di σ5(0);

  • Valore di σ7(0);

  • Valore di σ9(0);

  • Valore di σ11(0);

  • σ2k(0) = 0 per k > 0.

 

Alcune proprietà:

  • la funzione è moltiplicativa;

  • per k > 0, σk(n) è dispari se e solo se n è un quadrato o il doppio di un quadrato;

  • la somma delle potenze k-esime dei soli divisori pari di n è 0 per n dispari e Formula per al somma delle k-esime potenze dei divisori pari di un numero pari per n pari;

  • Somma che coinvolge la funzione σk;

  • Somma che coinvolge la funzione σk, se sab > 1 (Ramanujan 1915) e in particolare per a = b = 0 abbiamo Somma che coinvolge la funzione d;

  • Somma che coinvolge la funzione σk e in particolare Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σk e Somma che coinvolge la funzione σk sono irrazionali (Paul Erdös e M. Kac, 1954);

  • Somma che coinvolge la funzione σk è pari se e solo se n non è un quadrato dispari (John A. Ewell, 1998);

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice per la funzione σk e in particolare Somma che coinvolge la funzione σk per z complesso, |z| ≤ 1 e z ≠ 1.

 

Alcune somme che coinvolgono la funzione:

Somma che coinvolge la funzione σk;

Somma che coinvolge la funzione σk (J.W.L. Glaisher, 1884);

Somma che coinvolge la funzione σk (Ramanujan);

Somma che coinvolge la funzione σk, equivalente a Somma che coinvolge la funzione σk (J.W.L. Glaisher, 1885);

Somma che coinvolge la funzione σk , per n dispari (Giuseppe Melfi, 1998);

Somma che coinvolge la funzione σk , per n non multiplo di 3 (Giuseppe Melfi, 1998);

Somma che coinvolge la funzione σk , per n dispari (Giuseppe Melfi, 1998);

Somma che coinvolge la funzione σk , per n della forma 16m + 8 e non multiplo di 5 (Giuseppe Melfi, 1998);

Somma che coinvolge la funzione σk (Giuseppe Melfi, 1998);

Somma che coinvolge la funzione σk , per n dispari (Giuseppe Melfi, 1998);

Somma che coinvolge la funzione σk  (proposta da Ramanujan, dimostrata da Giuseppe Melfi nel 1996);

Somma che coinvolge la funzione σk;

Somma che coinvolge la funzione σk;

Somma che coinvolge la funzione σk;

Somma che coinvolge la funzione σk.

 

Giuseppe Melfi propose altre identità simili, non ancora dimostrate (v. congetture di Melfi e Morelli sulla funzione σ):

  • Somma che coinvolge la funzione σk, per n dispari;

  • Somma che coinvolge la funzione σk, per n dispari;

  • Somma che coinvolge la funzione σk, per n dispari.

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