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Dodecaedro-rombici di Haüy (numeri)

Numeri figurati 

Se aggiungiamo una piramide a base quadrata, con facce costituite da triangoli equilateri, a ciascuna faccia di un cubo, otteniamo un solido chiamato dodecaedro rombico, delimitato da 12 facce rombiche uguali. Questo solido ha l’interessante proprietà di tassellare lo spazio; in altre parole, copie identiche possono essere accostate le une alle altre riempiendo lo spazio, senza lasciare cavità.

Uno dei modi per costruire un’approssimazione di un dodecaedro rombico con palline è mettere un cubo di spigolo dispari al centro e unire 6 piramidi a base quadrata dell’ordine dispari immediatamente inferiore alle facce, però con i soli strati di lato dispari, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy

 

 

Il numero di palline necessarie è un numero dodecaedro-rombico di Haüy, che pertanto è un numero figurato, più precisamente poliedrico, somma di un cubo di ordine 2n + 1 e delle paline degli strati di lato dispari di 6 numeri piramidali di ordine 2n – 1.

La costruzione permette di calcolare il numero dodecadro-rombico di Haüy di ordine n come Dn = (2n – 1)(8n2 – 14n + 7).

 

Ogni numero dodecaedro-rombico di Haüy può essere espresso come somma di 96 numeri tetraedrici: Dn = Tn + 29Tn – 1 + 59Tn – 2 + 7Tn – 3.

 

Per le somme dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri dodecaedro-rombici di Haüy.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri dodecaedro-rombici di Haüy.

n

Dn

1

1

2

33

3

185

4

553

5

1233

6

2321

7

3913

8

6105

9

8993

10

12673

11

17241

12

22793

13

29425

14

37233

15

46313

16

56761

17

68673

18

82145

19

97273

20

114153

 

Probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 36 numeri dodecaedro-rombici di Haüy; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 15 numeri dodecaedro-rombici, ma probabilmente ne bastano 12.

Sembrano esserci 13079 interi non rappresentabili come somma di 12 numeri dodecaedro-rombici di Haüy, il massimo dei quali è 6495549; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 164 = 4 • 33 + 32 • 1 richiede 36 addendi, solo 131 e 163 ne richiedono 35, solo 98, 130 e 162 ne richiedono 34, solo 65, 97, 129 e 161 ne richiedono 33.

Dato che i numeri dodecaedro-rombici divisi per 8 danno resto 1, 7 addendi sono necessari per tutti i numeri della forma 8n + 7.

Qui trovate gli interi minori di 109 che richiedono più di 12 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri dodecaedro-rombici di Haüy differenti sono in tutto 119380, da 2 a 376182.

 

Per numeri dodecaedro-rombici di Haüy appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Nessun numero dodecaedro-rombico di Haüy è primo.

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