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Dodecaedro-rombici (numeri)

Numeri figurati 

Se aggiungiamo una piramide a base quadrata, con facce costituite da triangoli equilateri, a ciascuna faccia di un cubo, otteniamo un solido chiamato dodecaedro rombico, delimitato da 12 facce rombiche uguali. Questo solido ha l’interessante proprietà di tassellare lo spazio; in altre parole, copie identiche possono essere accostate le une alle altre riempiendo lo spazio, senza lasciare cavità.

Uno dei modi per costruire un’approssimazione di un dodecaedro rombico con palline è mettere un cubo centrato in mezzo e unire 6 piramidi a base quadrata alle facce, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri dodecaedro-rombici

 

 

Il numero di palline necessarie è un numero dodecaedro-rombico, che è quindi un numero figurato, più precisamente poliedrico, uguale a un numero cubo centrato più 6 volte il numero piramidale a base quadrata di ordine immediatamente inferiore.

La costruzione permette di calcolare il numero dodecadro-rombico di ordine n come Dn = (2n – 1)(2n2 – 2n + 1) = n4 – (n – 1)4.

 

Questi numeri figurati sono gli analoghi tridimensionali dei numeri esagonali centrati, nel senso che sono formati dai numeri di palline a distanza massima n da una centrale nell’impacchettamento più denso possibile (v. numeri nexus).

 

Ogni numero dodecaedro-rombico può essere espresso come somma di 27 numeri tetraedrici: Dn = Tn + 11Tn – 1 + 11Tn – 2 + Tn – 3.

 

Ogni numero dodecaedro-rombico è anche un numero piramidale centrato a base triangolare: Dn = P3(2n – 1).

 

Per le somme dei numeri dodecaedro-rombici e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma dei numeri dodecaedro-rombici;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri dodecaedro-rombici;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri dodecaedro-rombici;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri dodecaedro-rombici;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri dodecaedro-rombici;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri dodecaedro-rombici;Formula per la somma dei reciproci dei numeri dodecaedro-rombici a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri dodecaedro-rombici e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri dodecaedro-rombici.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri dodecaedro-rombici.

n

Dn

1

1

2

15

3

65

4

175

5

369

6

671

7

1105

8

1695

9

2465

10

3439

11

4641

12

6095

13

7825

14

9855

15

12209

16

14911

17

17985

18

21455

19

25345

20

29679

 

Probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 17 numeri dodecaedro-rombici; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 12 numeri dodecaedro-rombici, ma probabilmente ne bastano 8.

Sembrano esserci 1829 interi non rappresentabili come somma di 8 numeri dodecaedro-rombici, il massimo dei quali è 105353; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 59 = 3 • 15 + 14 • 1 richiede 17 addendi, solo 44 e 58 ne richiedono 16, solo 29, 43 e 57 ne richiedono 15, solo 14, 28, 42, 56, 234 e 364 ne richiedono 14.

Dato che i numeri dodecaedro-rombici divisi per 8 danno resto 1 o 7, 4 addendi sono necessari per tutti i numeri della forma 8n + 4.

Qui trovate gli interi minori di 109 che richiedono più di 8 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri dodecaedro-rombici differenti sono in tutto 32361, da 2 a 159688.

 

Per numeri dodecaedro-rombici appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Nessun numero dodecaedro-rombico è primo.

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