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Nexus (numeri)

Numeri figurati 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Espressione di interi come somma di numeri nexus

Il termine viene dal latino (collegamento, legame, vincolo), ma siccome si trova inalterato nella letteratura anglosassone (l’inglese ha adottato il vocabolo, mantenendone il significato e aggiungendogli quello di “centro focale”), ho preferito evitare di tradurlo.

 

Sono i numeri di (iper)palline a distanza massima n (calcolata tra i centri, prendendo il diametro come unità) da una centrale in un impacchettamento regolare, estensione multidimensionale dell’impacchettamento esagonale di cerchi su un piano. Sono quindi numeri figurati.

 

In d dimensioni sono dati da Formula per i numeri nexus a d dimensioni e in particolare:

  • Formula per i numeri nexus a 2 dimensioni, per quelli a 2 dimensioni (che sono numeri esagonali centrati);

  • Formula per i numeri nexus a 3 dimensioni, per quelli a 3 dimensioni (che sono numeri dodecaedro-rombici);

  • Formula per i numeri nexus a 4 dimensioni, per quelli a 4 dimensioni;

  • Formula per i numeri nexus a 5 dimensioni, per quelli a 5 dimensioni;

  • Formula per i numeri nexus a 6 dimensioni, per quelli a 6 dimensioni;

  • Formula per i numeri nexus a 7 dimensioni, per quelli a 7 dimensioni;

  • Formula per i numeri nexus a 8 dimensioni, per quelli a 8 dimensioni;

  • Formula per i numeri nexus a 9 dimensioni, per quelli a 9 dimensioni;

  • Formula per i numeri nexus a 10 dimensioni, per quelli a 10 dimensioni.

 

Ogni numero nexus a d dimensioni può essere espresso come somma di (d + 1)! numeri ipertetraedrici a d dimensioni: Numero nexus a d dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici e in particolare:

  • Numero nexus a 2 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici;

  • Numero nexus a 3 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici;

  • Numero nexus a 4 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici;

  • Numero nexus a 5 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici;

  • Numero nexus a 6 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici;

  • Numero nexus a 7 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici;

  • Numero nexus a 8 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici;

  • Numero nexus a 9 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici;

  • Numero nexus a 10 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici.

 

La somma di numeri nexus è particolarmente semplice: Formula per la somma di numeri nexus a d dimensioni.

 

La somma dei reciproci dei numeri nexus e delle loro potenze non è esprimibile in termini di funzioni elementari, tranne in alcuni casi:

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri nexus a 2 dimensioni;

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri nexus a 2 dimensioni;

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri nexus a 2 dimensioni;

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri nexus a 2 dimensioni;

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri nexus a 2 dimensioni;

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri nexus a 3 dimensioni;

  • Formula per la somma dei quadrati dei reciproci dei numeri nexus a 3 dimensioni;

  • Formula per la somma dei cubi dei reciproci dei numeri nexus a 3 dimensioni;

  • Formula per la somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 3 dimensioni;

  • Formula per la somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 3 dimensioni;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 4 dimensioni;

  • Somma dei quadrati dei reciproci dei numeri nexus a 4 dimensioni;

  • Somma dei cubi dei reciproci dei numeri nexus a 4 dimensioni;

  • Somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 4 dimensioni;

  • Somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 4 dimensioni;

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri nexus a 5 dimensioni;

  • Formula per la somma dei quadrati dei reciproci dei numeri nexus a 5 dimensioni;

  • Formula per la somma dei cubi dei reciproci dei numeri nexus a 5 dimensioni;

  • Formula per la somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 5 dimensioni;

  • Somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 5 dimensioni;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 6 dimensioni;

  • Somma dei quadrati dei reciproci dei numeri nexus a 6 dimensioni;

  • Somma dei cubi dei reciproci dei numeri nexus a 6 dimensioni;

  • Somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 6 dimensioni;

  • Somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 6 dimensioni;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 7 dimensioni;

  • Somma dei quadrati dei reciproci dei numeri nexus a 7 dimensioni;

  • Somma dei cubi dei reciproci dei numeri nexus a 7 dimensioni;

  • Somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 7 dimensioni;

  • Somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 7 dimensioni;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 8 dimensioni;

  • Somma dei quadrati dei reciproci dei numeri nexus a 8 dimensioni;

  • Somma dei cubi dei reciproci dei numeri nexus a 8 dimensioni;

  • Somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 8 dimensioni;

  • Somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 8 dimensioni;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 9 dimensioni;

  • Somma dei quadrati dei reciproci dei numeri nexus a 9 dimensioni;

  • Somma dei cubi dei reciproci dei numeri nexus a 9 dimensioni;

  • Somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 9 dimensioni;

  • Somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 9 dimensioni;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 10 dimensioni;

  • Somma dei quadrati dei reciproci dei numeri nexus a 10 dimensioni;

  • Somma dei cubi dei reciproci dei numeri nexus a 10 dimensioni;

  • Somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 10 dimensioni;

  • Somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri nexus a 10 dimensioni.

 

La somma a segni alterni dei reciproci dei numeri nexus e delle loro potenze non è esprimibile in termini di funzioni elementari, tranne in alcuni casi:

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri nexus a 2 dimensioni a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri nexus a 3 dimensioni a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri nexus a 4 dimensioni a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri nexus a 5 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 6 dimensioni a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri nexus a 7 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 8 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 9 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri nexus a 10 dimensioni a segni alternati.

 

La funzione generatrice dei numeri nexus è Funzione generatrice dei numeri nexus a d dimensionie in particolare:

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 2 dimensioni, per quelli a 2 dimensioni;

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 3 dimensioni, per quelli a 3 dimensioni;

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 4 dimensioni, per quelli a 4 dimensioni;

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 5 dimensioni, per quelli a 5 dimensioni;

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 6 dimensioni, per quelli a 6 dimensioni;

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 7 dimensioni, per quelli a 7 dimensioni;

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 8 dimensioni, per quelli a 8 dimensioni;

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 9 dimensioni, per quelli a 9 dimensioni;

  • Funzione generatrice dei numeri nexus a 10 dimensioni, per quelli a 10 dimensioni.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri nexus per n fino a 20 e d fino a 10.

n \ d

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

2

7

15

31

63

127

3

19

65

211

665

2059

4

37

175

781

3367

14197

5

61

369

2101

11529

61741

6

91

671

4651

31031

201811

7

127

1105

9031

70993

543607

8

169

1695

15961

144495

1273609

9

217

2465

26281

269297

2685817

10

271

3439

40951

468559

5217031

11

331

4641

61051

771561

9487171

12

397

6095

87781

1214423

16344637

13

469

7825

122461

1840825

26916709

14

547

9855

166531

2702727

42664987

15

631

12209

221551

3861089

65445871

16

721

14911

289201

5386591

97576081

17

817

17985

371281

7360353

141903217

18

919

21455

469711

9874655

201881359

19

1027

25345

586531

13033657

281651707

20

1141

29679

723901

16954119

386128261

 

n \ d

7

8

9

10

1

1

1

1

1

2

255

511

1023

2047

3

6305

19171

58025

175099

4

58975

242461

989527

4017157

5

325089

1690981

8717049

44633821

6

1288991

8124571

50700551

313968931

7

4085185

30275911

222009073

1614529687

8

11012415

93864121

791266575

6612607849

9

26269505

253202761

2413042577

22791125017

10

56953279

612579511

6513215599

68618940391

11

114358881

1357947691

15937424601

185311670611

12

215622815

2801832661

35979939623

457696700077

13

385749025

5444719021

75941127625

1049152023349

14

660058335

10056547411

151396163127

2257404775627

15

1087101569

17782312591

287395735649

4600190689711

16

1732076671

30276117361

522861237151

8942430185041

17

2680790145

49868399761

916482272673

16679710263217

18

4044203135

79771413871

1554473326175

29996513771599

19

5963602465

124328407411

2560599031177

52221848818987

20

8616436959

189312302221

4108933742199

88309741101781

 

Per numeri nexus appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Non esistono numeri nexus primi di dimensione dispari, perché per d dispari Numero nexus N(d, n) è multiplo di 2n – 1, né di dimensioni che siano potenze con esponente dispari, perché se d = mk con k dispari, Numero nexus N(d, n) è multiplo di nm + 1 – (n – 1)m + 1.

Non è noto se i numeri nexus primi siano infiniti nelle dimensioni pari che non siano potenze con esponente dispari. Secondo la congettura di Bunyakovsky dovrebbero esserlo.

I numeri nexus primi inferiori a 1018 sono:

  • 2075 a 4 dimensioni;

  • 120 a 6 dimensioni;

  • 6 a 10 dimensioni.

 

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