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Entropia dell’esagono rigido (costante della)

Matematica combinatoria  Teoria dei grafi 

Data una matrice rettangolare 2n × n come la seguente (di ordine 4), immaginiamo di colorarla come una normale scacchiera e consideriamo solo le caselle di un colore, che costituiscono una matrice n × n.

a11

 

a23

 

 

a22

 

a34

a21

 

a33

 

 

a32

 

a44

a31

 

a43

 

 

a42

 

a54

a41

 

a53

 

 

a52

 

a64

 

Considerando adiacenti a ogni cella le sei dello stesso colore che formano un esagono centrato sulla cella stessa, si possono attribuire valori 0 e 1 a ogni cella, in modo che non vi siano due 1 adiacenti, in G(n) modi.

Si può anche definire G(n) come il numero di modi per disporre re su una scacchiera con caselle esagonali di lato n in modo che due re non si attacchino; in questo caso le caselle contenenti i re corrispondono al valore 1 e quelle vuote a 0.

La figura seguente mostra la scacchieracon caselle esagonali di ordine 4, equivalente a quella con caselle quadrate mostrata sopra.

 

Scacchiera con caselle esagonali di ordine 4

 

 

Di seguito sono mostrati i 6 modi per attribuire 0 e 1 a una scacchiera di ordine 2.

0

 

 

0

0

 

 

0

 

1

 

 

0

0

 

 

0

 

1

 

 

0

0

 

 

1

 

0

 

 

1

0

 

 

0

 

0

 

 

0

1

 

 

0

 

0

 

 

0

0

 

 

1

 

La tabella seguente mostra i primi valori di G(n) (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

G(n)

1

2

2

6

3

43

4

557

5

14432

6

719469

7

70372090

8

13351521479

9

4941545691252

10

3559349503024593

11

4993739972681894885

12

13642580224488264353504

 

Al crescere di n, G(n) tende a Formula per la crescita asintotica di G(n), dove K è detta “costante dell’entropia dell’esagono rigido” e vale circa 1.3954859725.

 

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante.

 

La costante è algebrica, perché è l’unica soluzione reale positiva della seguente spaventosa equazione di grado 24:

25937424601x24 + 2013290651222784x22 + 2505062311720673792x20 + 797726698866568379776x18 + 7449488310131083100160x16 + 2958015038376958230528x14 – 72405670285649161617408x12 + 107155448150443388043264x10 – 71220809441400405884928x8 – 73347491183630103871488x6 + 97143135277377575190528x4 – 32751691810479015985152 = 0.

La costante si può esprimere come Formula per la costante dell'entropia dell'esagono rigido, dove Formula per aFormula per b e Formula per c; c è anche soluzione dell’equazione 10307264x9 – 7730448x6 + 3839236x3 – 161051 = 0 e può essere espressa tramite la costante di tribonacci χ: Formula per esprimere c tramite χ.

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