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Vibonacci (numeri di)

Sequenze 

I numeri di Vibonacci sono definiti in modo simile ai numeri di Fibonacci, solo che ciascuno viene ottenuto scegliendo a caso la somma o la differenza dei due precedenti, ossia definendo Ricorrenza per la definizione dei numeri di Vibonacci.

Il nome deriva dal fatto che le sequenze generate sembrano “vibrare” senza sosta tra valori positivi e negativi.

 

La definizione mostra che la sequenza non è univocamente definita: ogni volta che la si genera si ottiene una frequenza diversa, che può contenere numeri negativi, oscillare selvaggiamente e persino ripetersi ciclicamente.

 

Alcune proprietà dei numeri di Fibonacci però si conservano; in particolare, in ogni sequenza generata in questo modo, a partire da v0 = 0 e v1 = 1, vn è pari se e solo se n è multiplo di 3.

 

Come nella sequenza di Fibonacci, inoltre, i valori assoluti dei termini tendono a crescere esponenzialmente.

Nel 1960 Hillel Furstenberg e Harry Kesten dimostrarono che per una vasta classe di sequenze an generate casualmente, esiste una costante C, che dipende da come la sequenza viene generata, tale che con probabilità 1 vale Limite cui tende la radice n-esima del remine n-esimo.

Questo significa che se si generano un gran numero di sequenze casuali con la stessa regola, il rapporto medio tra i valori assoluti di termini successivi tende, al crescere del numero di sequenze generate a una costante. Notate che i valori iniziali della sequenza sono irrilevanti ai fini della determinazione del rapporto medio.

Non si conosce però un metodo generale per calcolare tale costante per qualsiasi sequenza.

 

Divakar Viswanath trovò nel 1999 un metodo per calcolarla nel caso della sequenza sopra descritta, e la costante è quindi chiamata “costante di Viswanath”.

 

Se la ricorrenza viene modificata come segue: Ricorrenza per la definizione della sequenza modificata, il comportamento è analogo, e il rapporto tra termini successivi tende in media a una costante, che dipende solo da β. In particolare tende a un valore minore di 1 per 0 < β < β* e maggiore di 1 per β > β*. Il valore β* che rende uguale a 1 il rapporto medio si chiama “costante di Embree – Trefethen”, dal nome dei due matematici che ne dimostrarono l’esistenza.

 

Nel 2013 Karyn McLellan studiò il comportamento di sequenze del genere quando la sequenza di somme e sottrazioni è periodica, facendo una scoperta sorprendente.

La chiave sta nell’esprimere la trasformazione che produce i valori successivi in termini di moltiplicazioni di matrici: Definizione della ricorrenza tramite moltiplicazione di matrici e vettori; a ogni passo si può scegliere uno dei due segni, corrispondenti di fatto a due matrici diverse. Se la sequenza dei segni è periodica con periodo k, abbiamo quindi Definizione della ricorrenza tramite moltiplicazioni di matrici e vettori, dove le varie matrici M1, M2..., Mk rappresentano una delle due matrici indicate sopra e P è il prodotto delle matrici stesse.

La matematica canadese dimostrò che si può considerare una sequenza del genere come formata da k sottosequenze intercalate, la prima che inizia con a0, ak, la seconda con a1, ak + 1, la terza con a2, ak + 2 e così via, ciascuna legata a una diversa matrice P, uguale prodotto delle stesse matrici M1, M2..., Mk, ma in ordine diverso. Le varie matrici P sono diverse, perché la moltiplicazione tra matrici non è commutativa, però condividono determinante e traccia e quindi gli autovalori, e sono questi ultimi a determinare il carattere delle sottosequenze. Più precisamente, se i due termini iniziali di ogni sottosequenza sono indicati con b0 e b1, escludendo il caso banale in cui siano entrambi zero, la crescita dei valori assoluti di ogni sottosequenza del genere è legata agli autovalori λ1 e λ1 di P, con |λ1| > |λ2|, ed è:

  • esponenziale, se e solo se |λ1| > 1, nel qual caso il rapporto tra termini successivi tende a |λ1|;

  • lineare, se e solo se P ≠ ±I, dove I è la matrice identità 2 × 2, e λ1 = λ2 = ±1;

  • limitata, se P = ±I o se λ1 e λ2 sono radici distinte dell’unità; in questo caso la sottosequenza bn è periodica, con periodo multiplo di k.

L’unica eccezione si verifica se λ1 = 1 e b0 = b1 = 1 o se λ1 = –1 e b0 = –b1 = 1, nel qual caso la sottosequenza è limitata.

E’ possibile che una sequenza contenga sottosequenze a crescita lineare e sottosequenze periodiche.

 

La traccia u della matrice P è legata in molti modi alla sequenza; in particolare, se P ≠ ±I:

  • u è pari se e solo se k è multiplo di 3;

  • u è della forma 4m + 2 se e solo se k è multiplo di 6;

  • u è un multiplo di 4 se e solo se k è della forma di 6m + 3;

  • se k è dispari la sequenza cresce esponenzialmente se e solo se u ≠ 0;

  • se k è dispari la sequenza cresce esponenzialmente se e solo se |u| > 2;

  • se k è dispari la sequenza cresce linearmente se e solo se |u| = 2;

  • se k è dispari la sequenza è periodica se e solo se |u| = 1.

Come conseguenza, la crescita lineare della sequenza è possibile solo se k è un multiplo di 6.

Bibliografia

  • Embree, Mark;  Trefethen, Lloyd N.;  "Growth and decay of random Fibonacci sequences" in Proceedings of the Royal Society, n. 455, pag. 2471 – 2485, 1999.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Viswanath, Divakar;  "Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824..." in Mathematics of Computation, n. 69 (231), pag. 1131 – 1155, 1999.

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