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Quadrati centrati (numeri)

Numeri figurati 

I numeri quadrati centrati sono i numeri di palline che possono essere disposti a formare quadrati con una pallina al centro di ogni quadrato 2 × 2, come mostra la figura.

 

Raffigurazione nei numeri quadrati centrati

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente poligonali centrati.

 

L’n-esimo numero quadrato centrato è la somma dei quadrati di n e n – 1 ed è dato da Qn = 2n2 – 2n + 1.

Ogni numero quadrato centrato si può ottenere come somma di 4 numeri triangolari: Qn = Tn + 2Tn – 1 + Tn – 2; inoltre Qn = 4Tn – 1 + 1.

 

Per le somme dei numeri quadrati centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri quadrati centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri quadrati centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri quadrati centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri quadrati centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri quadrati centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri quadrati centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri quadrati centrati a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri quadrati centrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri quadrati centrati.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri quadrati centrati.

n

Qn

1

1

2

5

3

13

4

25

5

41

6

61

7

85

8

113

9

145

10

181

11

221

12

265

13

313

14

365

15

421

16

481

17

545

18

613

19

685

20

761

 

Tutti i numeri quadrati centrati maggiori di 1 sono l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con lati di lunghezza intera: 2n – 1, Qn – 1 e Qn formano una terna pitagorica.

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di al massimo 6 numeri quadrati centrati; ne servono 6 per tutti (e soli) gli infiniti interi della forma 4k + 2, dove k non è rappresentabile come somma di due soli numeri triangolari (per la dimostrazione v. numeri poligonali centrati).

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di numeri quadrati centrati distinti, tranne: 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 40, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 56, 57, 58, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 73, 76, 77, 78, 81, 82, 83, 88, 89, 93, 94, 95, 96, 97, 101, 106, 109, 112, 117, 122, 125, 130, 134, 135, 136, 137, 142, 148, 149, 153, 161, 162, 166, 178, 196, 202, 208, 209, 210, 214 e 238.

 

Per numeri quadrati centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Se la congettura di Bunyakovsky è vera, vi sono infiniti numeri quadrati centrati primi; ve ne sono 3349 minori di 109, che trovate qui.

 

I fattori primi dei numeri quadrati centrati sono della forma 4k + 1.

 

Tutti i numeri quadrati centrati sono dispari e la cifra finale si ripete con periodo 5.

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