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Dodecaedrici (numeri)

Numeri figurati 

I numeri dodecaedrici sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un dodecaedro, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri dodecaedrici

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente platonici.

 

L’n-esimo numero dodecaedrico è dato da Formula per i numeri dodecaedrici.

 

Ogni numero dodecaedrico è anche un numero tetraedrico, perché Dn = T3n – 2, può anche essere espresso come somma di 27 numeri tetraedrici: Dn = Tn + 16Tn – 1 + 10Tn – 2.

 

Per le somme dei numeri dodecaedrici e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma dei numeri dodecaedrici;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri dodecaedrici;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri dodecaedrici;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri dodecaedrici;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri dodecaedrici;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri dodecaedrici;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri dodecaedrici a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri dodecaedrici a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri dodecaedrici a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri dodecaedrici a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri dodecaedrici a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri dodecaedrici e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri dodecaedrici.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri dodecaedrici.

n

Dn

1

1

2

20

3

84

4

220

5

455

6

816

7

1330

8

2024

9

2925

10

4060

11

5456

12

7140

13

9139

14

11480

15

14190

16

17296

17

20825

18

24804

19

29260

20

34220

 

Ogni numero dodecaedrico è anche un numero tetraedrico.

 

Sembrano esserci 97569 interi positivi non rappresentabili come somma di 5 numeri dodecaedrici, il massimo dei quali è 8205633; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 79 = 3 • 20 + 19 • 1 richiede 22 addendi, solo 59 e 78 ne richiedono 21, solo 39, 58 e 77 ne richiedono 20.

Ne bastano sicuramente 8 per numeri abbastanza grandi, probabilmente ne bastano 5.

Qui trovate gli interi minori di 109 che richiedono più di 5 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri dodecaedrici differenti sono in tutto 19020, da 2 a 63164.

 

Per numeri dodecaedrici appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Nessun numero dodecaedrico è primo.

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