Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Frugali (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamani “frugali” i numeri naturali che richiedono meno cifre se scritti sotto forma di scomposizione in fattori primi, come 128 = 27 e 1000000 = 26 • 56.

 

I numeri frugali inferiori a 10000 sono: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250, 1280, 1331, 1369, 1458, 1536, 1681, 1701, 1715, 1792, 1849, 1875, 2048, 2187, 2197, 2209, 2401, 2560, 2809, 3125, 3481, 3584, 3645, 3721, 4096, 4374, 4375, 4489, 4802, 4913, 5041, 5103, 5329, 6241, 6250, 6561, 6859, 6889, 7203, 7921, 8192, 9375, 9409.

 

Qui trovate i numeri frugali fino a 106. (Reinhard Zumkeller, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Il minimo numero frugale che non sia una potenza è 1029 = 3 • 73.

 

Il minimo quadrato frugale è 162 = 256 = 28.

 

Il minimo cubo frugale è 53 = 125.

 

Tutti i numeri frugali sono quadrati o multipli di un quadrato.

 

Per ogni intero n, tutte le potenze di n con esponente abbastanza grande sono frugali. La tabella seguente mostra il minimo esponente che renda frugali le potenze per n da 2 a 20.

n

Minimo esponente

2

7

3

4

4

4

5

3

6

5

7

3

8

3

9

3

10

4

11

3

12

4

13

3

14

4

15

4

16

2

17

3

18

4

19

3

20

4

 

Tutti i quadrati e le potenze superiori dei primi maggiori di 31 sono frugali.

 

Il massimo quadrato non frugale è 90522847514034976602344567514141067016193134642457686822104952100 = 22 • 32 • 52 • 72 • 112 • 132 • 172 • 192 • 232 • 292 • 312 • 372 • 412 • 432 • 472 • 532 • 592 • 612 • 672 • 712 • 732 • 832 • 892.

 

Tutti i cubi e le potenze superiori dei primi maggiori di 3 sono frugali.

 

Il massimo cubo non frugale è 99961946721000 = 23 • 33 •53 • 73 • 133 • 173.

 

Sono note coppie di numeri frugali consecutivi, come 4374 = 2 • 37 e 4375 = 54 • 7, ma non sequenze più lunghe, tuttavia Richard G.E. Pinch dimostrò nel 1998 che se la congettura di Dickson è vera, esistono sequenze di numeri frugali consecutivi di lunghezza arbitraria.

La minima terna di numeri frugali consecutivi è: 1097873 = 7 • 472 • 71, 1097874 = 2 • 37 • 251, 1097874 = 53 • 8783.

Alcune quaterne (non è detto che siano le minime) sono (M. Fiorentini, 2013):

  • 1253655381248 = 28 • 4897091333, 1253655381249 = 37 • 19 • 67 • 450299, 1253655381250 = 2 • 55 • 47 • 4267763, 1253655381251 = 74 • 132 • 73 • 42323;

  • 166279108090624 = 28 • 649527765979, 166279108090625 = 55 • 122599 • 434011, 166279108090626 = 2 • 38 • 12671780833, 166279108090627 = 74 • 17 • 4073770931;

  • 1007797959909375 = 3 • 55 • 31769 • 3383753, 1007797959909376 = 213 • 123022211903, 1007797959909377 = 74 • 13 • 32287763429, 1007797959909378 = 2 • 38 • 11 • 6982014659;

  • 1207001227598216531 = 134 • 223 • 189508825277, 1207001227598216532 = 22 • 35 • 174 • 33161 • 448351, 1207001227598216533 = 74 • 293 • 1715725995281, 1207001227598216534 = 2 • 114 • 53 • 777734036879;

  • 14288472559384349807 = 134 • 61 • 101 • 81200964367, 14288472559384349808 = 24 • 3 • 174 • 4373 • 815022137, 14288472559384349809 = 75 • 850150089806887, 14288472559384349810 = 2 • 5 • 114 • 97592190146741.

Una cinquina (non è detto che sia la minima) è : 1337587272560181247 = 114 • 328883 • 277785749, 1337587272560181248 = 215 • 277 • 147364346893, 1337587272560181249 = 38 • 2007433 • 101557273, 1337587272560181250 = 2 • 55 • 214013963609629, 1337587272560181251 = 75 • 1499 • 53092147807 (M. Fiorentini, 2013).

Reinhard Zumkeller

Bibliografia

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.