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Perfetti esponenziali (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “perfetti esponenziali” i numeri naturali pari alla somma dei divisori esponenziali, ovvero considerando σe(n) al posto di σ(n) nella definizione di “perfezione”. Sono quindi i numeri n per i quali σe(n) = 2n.

 

Il termine si deve a E.G. Straus e M.V. Subbarao, che nel 1974 dimostrarono che sono infiniti e tutti pari. Straus e Subbarao dimostrarono anche che quelli potenti (e quindi primitivi) e che hanno un numero fissato di fattori primi sono in numero finito e supposero che quelli non divisibili per un primo fissato siano in numero finito (v. congettura dei numeri perfetti esponenziali).

W. Aiello, G.E. Hardy e M.V. Subbarao dimostrarono nel 1985 che i numeri perfetti esponenziali sono multipli di 4.

 

Resta aperta la questione se siano tutti multipli di 3, e quindi di 9, come tutti quelli noti.

J. Fabrykowski e M.V. Subbarao dimostrarono nel 1986 che se esistono numeri perfetti esponenziali non multipli di 3, sono maggiori di 10664, sono multipli di di 2117 e hanno almeno 118 fattori primi distinti.

 

Joseph F. Kolenick dimostrò nel 2007 che se esistono numeri perfetti esponenziali non multipli di 3 né di 5, sono maggiori di 1029008, sono multipli 23152 e hanno almeno 3153 fattori primi distinti.

 

Se n è perfetto esponenziale e m è un numero non multiplo di un quadrato e senza divisori comuni con n, mn è perfetto esponenziale. Trovato il minimo numero perfetto esponenziale, 36, ne abbiamo quindi infiniti altri, della forma 36k, con k non multiplo di 2, 3 o di un quadrato, come 180 = 5 • 36.

 

I numeri perfetti esponenziali inferiori a 104 sono: 36, 180, 252, 396, 468, 612, 684, 828, 1044, 1116, 1260, 1332, 1476, 1548, 1692, 1800, 1908, 1980, 2124, 2196, 2340, 2412, 2556, 2628, 2700, 2772, 2844, 2988, 3060, 3204, 3276, 3420, 3492, 3636, 3708, 3852, 3924, 4068, 4140, 4284, 4572, 4716, 4788, 4932, 5004, 5148, 5220, 5364, 5436, 5580, 5652, 5796, 5868, 6012, 6228, 6444, 6516, 6660, 6732, 6876, 6948, 7092, 7164, 7308, 7380, 7524, 7596, 7740, 7812, 7956, 8028, 8172, 8244, 8388, 8460, 8604, 8676, 8892, 9036, 9108, 9252, 9324, 9468, 9540, 9684, 9756, 9972.

Qui trovate i numeri perfetti esponenziali inferiori a 107.

Bibliografia

  • Straus, E.G.;  Subbarao, M.V.;  "On Exponential Divisors" in Duke Mathematical Journal, n. 4, 1974, pag. 465 – 471.

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