Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Early bird (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Sono chiamati “early bird” gli “uccellini che cantano in anticipo”; non ho trovato un termine ragionevole in italiano, quindi ho deciso di mantenere il nome inglese.

La definizione si basa sulla sequenza di Smarandache, ottenuta scrivendo tutti i numeri naturali uno dopo l’altro: 12345678910111213141516171819202122232425…

Alcuni “uccellini” cantano in anticipo, secondo la definizione data dall’argentino Jaime Poniachik, ossia compaiono prima della loro posizione naturale, come combinazione di cifre di altri numeri. Il primo è 12, che possiamo leggere nelle prime 2 cifre, ben prima della posizione che gli compete, poi vengono: 21, 23, 31, 32, 34, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 101, 110, 111, 112, 121, 122, 123, 131, 132, 141, 142, 151, 152, 161, 162, 171, …

 

Tra questi vi sono numeri primi: 23, 31, 41, 43, 53, 61, 67, 71, 73, 83, 89, 97, 101, 131, 151, 181, 191, 211, 223, 241, 251, 263, 271, 281, 311, 313, 317, 331, 353, 401, 419, 421, 431, 433, 461, 463, 491, 503, … ; quadrati: 64, 81, 121, 324, 361, 441, 484, 529, 625, 676, 729, 784, 841, 961, 1521, 1681, 2116, 2401, 2601, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3721, 4225, 4356, 4624, 4761, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 7056, 7225, 7396, 7569, … e numeri con praticamente qualsiasi proprietà desiderata.

 

Gardner scrisse nel 2005 un articolo che contribuì a divulgarli.

 

Golomb dimostrò che quasi tutti gli interi sono “early bird” o, più tecnicamente, che la loro densità asintotica è 1.

 

I numeri che non compaiono nella sequenza si chiamano “punctual bird”e sono infiniti, perché contengono in particolare tutte le potenze di 10.

 

Dato che la sequenza degli early bird contiene “quasi tutti” gli interi, si possono cercare i numeri che compaiono in anticipo scrivendo la sequenza degli early bird stessi: si ottengono in questo modo gli early bird del secondo ordine: 99, 111, 122, 123, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192, 211, 212, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 231, 232, 233, 234, 243, 253, 263, 273, 283, 293, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 342, 343, 344, 345, 354, 364, 374, …

Questo porta a considerare gli early bird del terzo ordine:212, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 221, 231, 312, 313, 321, 322, 323, 325, 326, 327, 328, 329, 331, 332, 342, 421, 423, 424, 432, 433, 434, 436, 437, 438, 439, 441, 442, 443, 453, 521, 532, 534, 535, 543, 544, 545, 547, 548, 549, 551, 552, 553, 554, 564, …

Possiamo quindi considerare early bird del quarto ordine e di infiniti ordini successivi; i minimi early bird degli ordini da 1 a 27 sono: 12, 99, 212, 221, 1532, 2211, 4221, 12111, 21111, 22211, 42221, 111107, 121111, 211111, 222216, 878777, 1111102, 1121111, 1211111, 2111111, 4332343, 9999993, 11111051, 11111106, 11211111, 12111111, 21111111.

 

Un’ovvia generalizzazione è l’utilizzo di altre basi; in base 2 gli early bird sono: 112 = 3, 1012 = 5, 1102 = 6, 1112 = 7, 10012 = 9, 10112 = 11, 11002 = 12, 11012 = 13, 11102 = 14, 11012 = 15, 100012 = 17, 100102 = 18, 100112 = 19, 101002 = 20, 101012 = 21, 101112 = 23, 110002 = 24, 110012 = 25, 110102 = 26, 110112 = 27, 111002 = 28, 111012 = 29, 111102 = 30, 111112 = 31, 1000012 = 33, 1000102 = 34, 1000112 = 35, 1001012 = 37, 1001102 = 38, 1001112 = 39, 1010002 = 40, 1010012 = 41, 1010102 = 42, 1010112 = 43, 1011002 = 44, 1011012 = 45, 1011102 = 46, 1011112 = 47, 1100002 = 48, 1100012 = 49, 1100102 = 50, 1100112 = 51, 1101002 = 52, 1101012 = 53, 1101102 = 54, 1101112 = 55, 1110002 = 56, 1110012 = 57, 1110102 = 58, 1110112 = 59, 1111002 = 60, 1111012 = 61, 1111102 = 62, 1111112 = 63, …

 

La definizione si presta ad alcune varianti: in primo luogo si possono eliminare gli early bird dalla sequenza, ossia evitare di scrivere i numeri già comparsi. In questo modo, per esempio, 12 non va scritto dopo 11, perché già comparso, ma allora 22 non è più un early bird.

In questo modo otteniamo i numeri di Hannah Rollman: 12, 23, 31, 34, 41, 42, 45, 51, 52, 53, 56, 61, 62, 63, 64, 67, 71, 72, 73, 74, 75, 78, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 101, 111, 113, 121, 122, 123, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 192, 201, 202, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217. La sequenza prende il nome da chi la ideò, all’età di 10 anni.

 

Si possono poi considerare o meno i numeri che compaiono parzialmente prima della loro posizione, ovvero che includono alcune delle cifre della loro stessa rappresentazione nella posizione corretta. Per esempio, in base 2 21 è 101012 e 22 è 101102; se prendiamo le ultime 3 cifre del primo e le prime 2 del secondo, otteniamo appunto la rappresentazione di 22, ma a cavallo tra la posizione spettante e quella precedente; escludendo questi casi si ottengono definizioni leggermente diverse.

Vedi anche

Numeri di Smarandache.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Gardner, Martin;  "Transcendentals and early birds" in Mathematical Horizons, The Mathematical Association of America, vol. XIII(2), pag. 5 – 34, 2005.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.