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μ(n) (II)

Funzioni 

La funzione di Smarandache μ(n) è definita come il minimo intero k tale che n divida k!, ossia la base del minimo fattoriale multiplo di n. Per esempio, μ(8) = 4, perché 8 non divide 1! = 1, 2! = 2 e 3! = 6, ma divide 4! = 24.

La funzione è talvolta indicata come S(n).

 

Non vi è accordo sul valore di μ(1), che può essere definito come 0 o 1.

 

La funzione fu considerate per la prima volta da François Édouard Anatole Lucas nel 1883, seguito da Joseph Jean Baptiste Neuberg nel 1887 e da A.J. Kempner, che nel 1918 mostrò il primo algoritmo corretto per calcolarla.

La funzione fu quindi trascurata e riscoperta nel 1980 da Florentin Smarandache, dal quale prende (forse non del tutto correttamente) il nome; molti infatti preferiscono chiamarla “funzione di Kempner”.

 

La funzione ha alcune proprietà interessanti:

  • μ(n) = 1 se e solo se n = 1;

  • μ(n) = 2 se e solo se n = 2;

  • μ(n!) = n, pertanto per ogni intero positivo n, esiste almeno un intero positivo m tale che μ(m) = n;

  • μ(n) = n se e solo se n è 1, 4 o primo;

  • se p è primo, μ(n) = p implica n = kp;

  • μ(pn) = np, se p è primo e np;

  • μ(pp + 1) = p2, se p è primo;

  • μ(pp + n + 1) = p2 + np, se p è primo e 1 ≤ np;

  • μ(ppn) = pn + 1 – pn + p, se p è primo;

  • μ(ab) = max(μ(a), μ(b)), se a e b non hanno fattori primi in comune, quindi se p1, p2, … pn sono primi distinti, μ(p1p2pn) = max(p1, p2, … pn);

  • μ(r) = Mr, se 2r – 1Mr è un numero perfetto pari e Mr è il corrispondente primo di Mersenne;

  • μ(n) ≤ n;

  • μ(2n) ≤ n, per n > 2;

  • μ(4n2) ≤ 2n, per n > 2;

  • μ(nk) ≤ kμ(n);

  • μ(n!k) ≤ kn;

  • Disuguaglianza che coinvolge la funzione μ;

  • p ≤ μ(n) ≤ n, dove p è il massimo primo che divide n;

  • μ(mn) ≤ μ(m) + μ(n) ≤ μ(m)μ(n), per m e n maggiori di 1;

  • se p è primo, μ(pa + b) ≤ μ(pa)μ(pb);

  • se p è primo, Disuguaglianza che coinvolge la funzione μ, tranne nel caso μ(2^2) / 2^2 = μ(2^1) / 2^1 = 1;

  • se p è primo, Limite che coinvolge la funzione μ;

  • Disuguaglianza che coinvolge la funzione μ;

  • se m divide n, Disuguaglianza che coinvolge la funzione μ;

  • se p è primo, p divide μ(pk);

  • per n > 4, il numero di primi non superiori a n è Numero di primi non superiori a n;

  • la differenza |μ(n + 1) – μ(n)| non ha un limite superiore;

  • μ(n) / n ≤ 2 / 3, per n composto e maggiore di 4.

 

Per quanto riguarda la crescita della media della funzione, S. Tabirca e T. Tabirca dimostrarono nel 1998 che Limite superiore per la media dei primi n valori della funzione di Smarandache, con c1 e c2 costanti; Florian Luca dimostrò che Limiti inferiore e superiore per la media dei primi n valori della funzione di Smarandache e R.S. Finch dimostrò che Limite asintotico per la media dei primi n valori della funzione di Smarandache.

 

La tabella seguente riporta i primi 20 valori della funzione μ.

n

μ(n)

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

3

7

7

8

4

9

6

10

5

11

11

12

4

13

13

14

7

15

5

16

6

17

17

18

6

19

19

20

5

 

μ(n) > μ(n + 1) per infiniti valori di n e μ(n) < μ(n + 1) per per infiniti valori di n; non si conosce alcun valore di n per il quale μ(n) = μ(n + 1) e A.A.K. Majumdar propose nel 2010 la congettura che non ne esista alcuno.

 

Ion Cojocaru e Sorin Cojocaru dimostrarono che per qualsiasi sequenza strettamente crescente di numeri naturali xnSommatoria divergente che coinvolge la funzione di Smarandache è divergente e in particolare Sommatoria divergente che coinvolge la funzione di Smarandache  è divergente.

Sono divergenti anche le serie Sommatoria divergente che coinvolge la funzione di SmarandacheSommatoria divergente che coinvolge la funzione di Smarandache e Sommatoria divergente che coinvolge la funzione di Smarandache.

 

μ(n) divide il fattoriale del massimo primo che divide n, tranne che per un insieme di numeri di densità nulla (proprietà supposta da Erdös nel 1991 e dimostrata da Kastanas nel 1994). Per piccoli valori di n, tuttavia, le eccezioni sono relativamente frequenti; le prime sono: 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, 32, 36, 45, 48, 49, 50, 54, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 98, 100, 108, 121, 125, 128, 135, 144, 147, 150, 160, 162, 169, 175, 180, 189, 192, 196, 200, 216, 224, 225, 240, 242, 243, 245, 250, 256, 270, 288, 289, 294, 300, 320, 324.

Se N(x) è il numero di eccezioni minori di x, Abkik dimostrò nel 1999 che Limite superiore per il numero di eccezioni minori di x.

L. Tutescu propose nel 1999 la congettura che la funzione non assume mai lo stesso valore per due interi consecutivi; la congettura è stata verificata fino a 109 (E. Weisstein, 2004).

 

T.D. Noe verificò nel 2004 che μ(n) ≠ μ(n + 6) per n sino a 107 e ha proposto la congettura che valga per qualsiasi n.

 

M. Radu propose la congettura che μ(n) + μ(n + 1) = μ(n + 2) abbia infinite soluzioni.

 

Sondow propose nel 2006 la congettura che μ(n)! > n2, tranne che per un insieme di numeri di densità nulla. Le prime eccezioni sono: 2, 3, 6, 8, 12, 15, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 224, 240, 252, 280, 288, 315, 320, 336, 360, 384, 420, 448, 480, 504, 560, 576, 630, 640, 648, 672, 720, 756, 810, 840, 864, 896, 945, 960, 1008, 1080.

 

L’equazione μ(n)μ(n + 1) = n non ha soluzioni (Charles Ashbacher, 1998).

 

L’equazione μ(n)μ(n + 1) = n non ha soluzioni (Charles Ashbacher, 1998); si conoscono invece varie soluzioni dell’equazione μ(n)μ(n + 1) = kn. Si dimostra facilmente che l’equazione ha soluzione se k è primo; si suppone che abbia solizioni per qualsiasi valore di k maggiore di 1.

La tabella seguente mostra le soluzioni dell’equazione μ(n)μ(n + 1) = kn, per k fino a 20 e n fino a 105.

k

n

2

1, 15, 18431

3

2, 5, 8, 42524

4

3, 7, 11, 23, 2559, 5631, 7167, 56319

5

4, 19, 29, 59, 74, 249, 674, 1574, 6999, 15999, 21999, 22749, 48999, 51999, 71499, 87999

6

17, 47, 71, 79, 89, 179, 239, 359, 719, 1214, 6074

7

13, 41, 83, 139, 146, 167, 251, 419, 503, 538, 734, 839, 1259, 1322, 1371, 5039, 6614, 11906, 12004, 13474, 17198, 26067, 30183, 47774, 63062, 75459, 87807

8

31, 127, 191, 223, 383, 479, 1151, 1439, 2239, 2687, 2879, 3359, 6719, 10079

9

53, 107, 269, 431, 647, 809, 863, 1511, 1619, 1889, 2186, 2267, 2591, 3023, 3779, 5669, 6047, 7559, 12959, 18143, 22679, 25919, 45926, 51839, 54674

10

149, 199, 349, 449, 599, 1049, 1279, 1399, 1874, 2099, 2399, 2699, 4049, 4799, 5399, 6299, 6911, 10799, 11519, 16127, 18899, 21599, 26879, 28349, 31874, 33599, 37799, 39374, 48383, 61874, 86399, 89374

11

43, 109, 131, 197, 263, 307, 362, 439, 461, 593, 659, 769, 1187, 1231, 1319, 1583, 1759, 1814, 1847, 1979, 2111, 2309, 2661, 2969, 3079, 3167, 3299, 4157, 4751, 5279, 5939, 6599, 7039, 7127, 7699, 7919, 8447, 9239, 10559, 11087, 11549, 12473, 12671, 13859, 14783, 16334, 16631, 17599, 17786, 18633, 20789, 23099, 25343, 26399, 29567, 30854, 34649, 39082, 41579, 42239, 42591, 44351, 44549, 46199, 49279, 55054, 55439, 59399, 68606, 73204, 76031, 80222, 90507, 92399, 99098

12

971, 3583, 5119, 6803, 9719, 10691, 12149, 12799, 15359, 15551, 21383, 21503, 23039, 26729, 27647, 33791, 34019, 35839, 42767, 53759, 62207, 69119, 74843, 85049, 89599

13

103, 181, 233, 311, 389, 467, 571, 701, 727, 857, 1039, 1091, 1429, 1559, 1637, 1663, 1858, 1871, 1949, 2287, 2339, 2729, 3119, 4003, 4159, 4211, 4289, 4549, 4562, 4679, 5147, 5849, 5914, 6317, 6551, 6863, 7019, 7487, 8423, 9151, 10009, 10399, 10529, 10646, 11699, 12011, 12479, 12674, 13103, 13649, 14741, 15443, 17159, 17471, 18199, 18719, 21059, 21839, 23399, 24023, 24842, 27299, 28898, 29483, 30029, 34319, 34982, 35099, 35151, 36607, 38609, 40039, 40949, 41066, 41183, 42899, 44927, 46591, 48333, 49139, 49919, 50543, 51479, 58967, 63179, 63374, 64063, 65519, 67391, 68639, 69497, 70199, 73709, 78623, 81626, 81899, 84239, 87359, 90089, 95822, 99839

14

97, 293, 587, 881, 1567, 2351, 2939, 3527, 3821, 3919, 4409, 4703, 5879, 6143, 6271, 7349, 7643, 7937, 8623, 8819, 12739, 13229, 14699, 15287, 15679, 19403, 21559, 23813, 25087, 26459, 28027, 29399, 31751, 31849, 35279, 38219, 39199, 45863, 51199, 52919, 53899, 55222, 57329, 58211, 61151, 64679, 64826, 79379, 80849, 86239, 87317, 93638, 94079, 95549

15

499, 1499, 1999, 2749, 2999, 3499, 8999, 9749, 10499, 13499, 13999, 15749, 19249, 20249, 20411, 23327, 24499, 24749, 25999, 32999, 35999, 36749, 37907, 40499, 40823, 41999, 49499, 64151, 71999, 77999, 81647, 98999

16

8191, 20479, 73727, 81919

17

67, 101, 271, 373, 509, 866, 883, 1019, 1087, 1223, 1427, 1699, 2039, 2141, 2243, 2447, 2549, 2617, 2719, 2753, 3331, 3671, 3739, 4079, 4283, 4759, 4861, 5099, 5303, 5507, 5711, 6646, 7649, 7853, 8329, 8839, 9281, 9349, 9791, 10607, 10709, 11423, 11933, 12239, 13259, 13327, 13463, 14143, 15299, 16319, 16829, 18206, 19447, 19583, 19889, 19991, 20399, 21419, 21674, 22031, 23561, 24989, 25703, 26111, 26927, 27539, 28559, 30293, 33149, 34033, 35801, 39014, 39779, 39983, 41326, 41887, 42839, 44794, 44879, 47123, 47599, 48619, 49418, 51407, 52223, 53549, 55079, 55249, 55691, 56099, 57119, 58666, 59669, 61879, 63647, 65449, 68543, 71399, 71807, 73303, 76159, 78539, 79559, 79967, 80783, 82619, 83299, 83537, 89759, 89963, 95471, 97919

18

4373, 8747, 13121, 65609, 74357

19

37, 113, 151, 227, 379, 569, 607, 683, 797, 911, 1063, 1082, 1291, 1367, 1481, 1709, 1823, 1861, 2089, 2393, 2659, 2963, 3191, 3229, 3343, 3457, 3761, 3989, 4787, 5167, 5414, 5471, 5813, 5851, 5927, 6079, 6269, 7523, 9043, 9689, 10259, 10639, 10867, 11171, 11399, 11969, 12539, 12634, 12919, 13337, 13679, 13831, 14078, 14249, 14591, 14629, 15199, 15959, 16301, 17099, 17783, 19379, 19759, 19949, 20063, 20747, 20899, 21317, 22229, 22343, 22571, 24623, 27074, 27701, 28499, 31121, 32299, 32603, 32831, 33857, 34883, 35111, 36479, 37049, 37619, 38303, 40013, 40127, 40697, 41039, 43889, 44687, 45599, 46511, 46549, 48449, 49741, 50159, 50273, 50387, 51071, 51679, 51869, 52249, 52667, 53503, 56999, 58367, 61559, 63839, 66499, 67829, 68399, 69767, 70223, 71059, 72617, 72959, 74099, 74726, 75239, 76607, 76949, 79039, 80749, 81509, 86183, 88919, 90439, 91199, 92054, 92377, 94049, 94847, 94961, 96823

20

1249, 4999, 7499, 16249, 26249, 33749, 42499, 59999, 67499, 71249, 79999, 82499, 94999, 97499

 

Le soluzioni dell’equazione Prodotto di μ(k) per k da 1 a n uguale a n! sono solo n = 1, 2, 3, 4, 5 (Florian Luca).

 

Le uniche soluzioni dell’equazione μ(n) / n = 1 / p con p primo sono n = 8 e n = 27 (Charles Ashbacher, 1995).

 

Le uniche soluzioni dell’equazione μ(n) + d(n) = n sono n = 8 e n = 9 (Charles Ashbacher, 1998).

Gli interi n per i quali μ(n) + d(n) > n sono 1, 4, 6 e i numeri primi (Charles Ashbacher, 1998).

 

Le uniche soluzioni dell’equazione μ(n) = φ(n) sono n = 1, 8, 9 e 12 (M. Jingping, 2005).

Le uniche soluzioni dell’equazione μ(n2) = φ(n) sono n = 1, 24 e 50 (Yi Yuan, 2005).

Le uniche soluzioni dell’equazione μ(n3) = φ(n) sono n = 1, 48 e 98 (Yi Yuan, 2005).

L’unica soluzione dell’equazione μ(n4) = φ(n) è n = 1 (Yi Yuan, 2005).

 

L’unica soluzione dell’equazione Equazione che coinvolge la funzione μ è n = 1 (Maohua Le, 2005).

 

Le uniche soluzioni dell’equazione Equazione che coinvolge la funzione μ sono n = 1 e n = 10 (Weiguo Duan e Yanrong Xue, 2008).

 

L’unica soluzione dell’equazione μ(mn) = mkμ(n) con mn > 1 è k = 1, m = n = 2.

 

Il numero di interi n per i quali μ(n) = k è d(k!) – d((k – 1)!) e dato che questo valore è positivo per k > 1, la funzione produce come valore tutti gli interi positivi; tuttavia alcuni valori relativamente piccoli sono prodotti per la prima volta per argomenti piuttosto grandi.

 

A partire dalla funzione di Smarandache μ(n) sono state definite alcune costanti, indicate con Sn e dette costanti di Smarandache.

se p è primo,

Bibliografia

  • Majumdar, A.A.K.;  Wandering in the World of Smarandache Numbers, InProQuest, 2010 -

    Il libro contiene alcune dimostrazioni errate o lacunose.

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