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Trascendenti (numeri)

Algebra  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numeri dimostrati trascendenti
  3. 3. Classificazione dei numeri trascendenti

Kurt Mahler (Krefeld, Germania, 26/7/1903 – Canberra, Australia, 25/2/1988) definì nel 1932 una suddivisione dei numeri trascendenti in tre classi, che chiamò S, T e U.

Dato un numero complesso x, consideriamo tutti i polinomi di grado al massimo n a coefficienti interi di valore assoluto non superiore a H, prendiamo quello che ha il minimo valore assoluto se la variabile vale x e chiamiamo m(x, n, H) tale valore. Se x è trascendente, m(x, n, H) è maggiore di zero, perché nessun polinomio può annullarsi in corrispondenza del valore x, altrimenti x sarebbe algebrico, tuttavia al crescere del grado e dei coefficienti si possono trovare polinomi con valore assoluto piccolo quanto si vuole.

Definiamo Formula per la definizione di ω(x, n, H) e Formula per la definizione di ω(x, n): x appartiene alla classe U, se ω(x, n) è infinito per n uguale o superiore a m e in tal caso si dice che x è un numero U di grado m. Se ω(x, n) non diventa infinito per n abbastanza grande, definiamo Formula per la definizione di ω(x, n, H): x è algebrico se e solo se ω(x) = 0. Se ω(x) è finito, x appartiene alla classe S, se i valori di ω(x, n) crescono senza un limite superiore, x appartiene alla classe T.

La classe U contiene tutti i numeri di Liouville, quindi un insieme non numerabile di numeri reali, ma ha misura di Lebesgue nulla.

Quasi tutti i numeri reali sono nella classe S; per circa 35 anni l’esistenza di numeri di classe T rimase un mistero, poi nel 1968 Wolfgang M. Schmidt riuscì a costruire un esempio.

 

Nel 1966 Vladimir Sprindzhuk dimostrò la congettura di Mahler che quasi tutti i numeri reali sono in classe S con ω(x) = 1 (il minimo possibile per un numero reale trascendente) e che quasi tutti i numeri complessi sono in classe S con ω(x) = 1 / 2 (il minimo possibile per un numero complesso trascendente).

 

Nel 1953 William Judson LeVeque (Boulder, USA, 9/8/1923 – 1/12/2007) dimostrò che esistono infiniti numeri della classe U per ogni grado fissato: definendo Formula per la definizione di λ, dimostrò che λ è un numero di Liouville e la sua radice n-esima è un numero di classe U e grado n. La stessa proprietà hanno i numeri ottenuti cancellando dalla serie un qualsiasi sottoinsieme dei termini con n pari; dato che tali sottoinsiemi sono un infinità non numerabile, si ottiene un’infinità non numerabile di numeri di classe U e grado n.

 

Kurt Mahler dimostrò che ex è in classe S se x è algebrico e diverso da zero, quindi e è in classe S.

Di π si sa solo che non è in classe U e della maggioranza dei numeri dimostrati trascendenti si ignora la classificazione.

 

Due numeri complessi a e b si dicono “algebricamente dipendenti” se esiste un polinomio P(x, y) a coefficienti interi non tutti nulli tale che P(a, b) = 0. Se due numeri trascendenti sono algebricamente dipendenti, appartengono alla stessa classe; questo permette di costruire vari esempi di numeri di numeri trascendenti sommando due numeri di classi diverse, per esempio un numero di Liouville con e o π. Infatti, se la somma fosse algebrica, i due numeri sarebbero algebricamente dipendenti, ma allora apparterrebbero alla stessa classe, contrariamente all’ipotesi.

 

Nel 1939 Jurjen Ferdinand Koksma (Schoterland, Olanda, 21/4/1904 – Amsterdam, 17/12/1964) propose un’altra classificazione dei numeri trascendenti. Dato un numero complesso x, si definisce m(x, n, H) come sopra e quindi ω*(x, n, H) tramite la formula |xm(x, n, H)| = Hnω*(x, n, H) – 1, ovvero Formula per la definizione di ω*(x, n, H), e Formula per la definizione di ω*(x, n); quindi:

  • se ω*(x, n) diviene infinito per n almeno uguale a m, x appartiene alla classe U*;

  • se ω*(x, n) è limitato superiormente al crescere di n, x appartiene alla classe S*;

  • se ω*(x, n) non diviene mai infinito, ma cresce senza limite superiore, x appartiene alla classe T*;

  • se ω*(x, n) converge a 0, x appartiene alla classe A*.

La classe A* è quella dei numeri algebrici, le altre equivalgono alle classi definite da Mahler.

Bibliografia

  • Baker, Alan;  Trascendental Numbers Theory, Londra, Cambridge University Press, 1975.
  • Chaitin, Gregory;  Metamaths, Londra, Atlantic Books, 2007.
  • Gray, Jeremy J.;  The Hilbert Challenge, Oxford, Oxford University Press,, 2000.
  • Lang, S.;  Introduction to Trascendental Numbers, Reading, Addison-Wesley, 1966.
  • Niven, Ivan;  Numbers: Rational and Irrational, The Mathematical Association of America, 1961.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Siegel, C.L.;  Trascendental Numbers, Princeton, Annals of Mathematical Studies 16, 1949.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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