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Hermite (costanti di)

Geometria  Vari 

Qual è il modo di disporre ipersfere a n dimensioni, in modo da ottenere la maggior densità possibile?

 

La disposizione migliore possibile di cerchi sul piano, con densità Densità della miglior disposizione possibile di cerchi, è secondo uno schema esagonale, nel quale ogni cerchio ne tocca altri 6, come mostra la figura seguente.

 

Il miglior impacchettamento possibile di cerchi

 

Se comprimiamo lo schema, immaginando cerchi di materiale flessibile, o equivalentemente li facciamo espandere finché possibile, ne risulta una tassellatura del piano con esagoni regolari.

Sembra evidente che questa sia la disposizione migliore: dopotutto non si possono mettere più di 6 cerchi a contatto con uno centrale. Per una dimostrazione rigorosa però bisogna escludere anche disposizioni meno regolari e questo è molto più difficile di quanto possa sembrare.

Per rendersi conto delle difficoltà, basta considerare il fatto che in tre dimensioni una sfera può toccarne contemporaneamente al massimo 12 identiche (v. numero di Newton), ma non tutte le disposizioni nelle quali ogni sfera ne tocca altre 12 hanno la stessa densità.

 

Il primo a considerare il problema fu l’artista tedesco Albrecht Dürer (Norimberga, Germania, 21/5/1741 – Norimberga, 6/4/1528), che in Unterweisung der Messung mit Zirkel und Richtscheit (Istruzioni per misurare con compasso e riga), pubblicato nel 1528 affermò che vi sono solo due modi per decorare un soffitto con una disposizione regolare di cerchi: con i centri ai vertici di quadrati o di esagoni regolari, implicando che il secondo schema raggiunge una densità maggiore.

 

Keplero nel suo libro del 1611 (v. più avanti) affermò che lo schema esagonale è il più denso possibile, ma non riuscì a dimostrarlo.

 

Nel 1773 Joseph-Louis Lagrange (Torino, 27/1/1736 – Parigi, 10/4/1813), nato Giuseppe Lodovico Lagrangia, sviluppando la teoria delle forme quadratiche binarie, arrivò a un passo dalla dimostrazione, per cerchi con i centri ai vertici di un reticolo regolare, ma non vide o non volle pubblicare la connessione tra il suo lavoro e il problema della disposizione di cerchi.

 

Il matematico norvegese Axel Thue (Tønsberg, Norvegia, 19/2/1863 – Oslo, 7/3/1922) pubblicò due dimostrazioni, nel 1982 e nel 1910, considerate però incomplete dai matematici suoi contemporanei. Thue, in parte autodidatta e poco attento ai lavori dei colleghi, mancava talvolta del rigore necessario e trascurò di dimostrare alcuni fatti, per nulla ovvi, sui quali le sue dimostrazioni erano basate: la prima era lunga solo 23 righe ed era più vicina alla descrizione di una strategia di attacco, che alla soluzione del problema.

 

Finalmente nel 1944 il matematico ungherese László Fejes-Tóth (Szeged, Ungheria, 12/3/1915 – Budapest, 17/3/2005) produsse una dimostrazione completa. Non che fosse molto più lunga di quella di Thue, solo 47 righe e una figura, ma era rigorosa.

 

Nel 1938 Richard Brandon Kershner (Crestine, USA, 11/10/1913 – Silver Springs, USA, 1/2/1982) dimostrò che la stessa disposizione a reticolo esagonale permette di ricoprire il piano con cerchi uguali, con la minima sovrapposizione possibile: l’area complessiva dei cerchi è Rapporto tra area complessiva dei cerchi e area ricoperta volte l’area ricoperta.

 

Il problema del migliore impacchettamento di sfere fu sollevato dai militari, alla ricerca del modo migliore di immagazzinare proiettili di cannone, soprattutto nel limitato spazio delle navi.

Sir Walter Raleigh (Hayes Barton, Inghilterra, 22/1/1552 o 1554, – Londra, 29/10/1618), nel preparare una spedizione verso la fine del XVI secolo, chiese al suo assistente Thomas Harriot (Oxford, circa 1560 – Londra, 2/7/1621) una formula per calcolare il numero di palle di cannone che possono formare una pila di dimensioni note.

Harriot risolse il problema di Raleigh, e, comprendendo le esigenze del suo capo, cercò di calcolare il numero massimo di palle che potevano essere stivate in uno spazio noto; sviluppò tabelle che davano il numero di palle in contenitori di varie dimensioni, ma non riuscì a risolvere il problema generale della disposizione più densa possibile nello spazio e lo portò all’attenzione di Johannes Keplero (Weil der Stadt, Germania, 27/12/1571 – Regensburg, Germania, 15/9/1630). Keplero pubblicò nel 1611 la soluzione corretta del problema in Strena seu de nive sexangula (Regalo per l’anno nuovo o sulla neve a sei punte), senza riuscire a dimostrarla ottimale. Per questo la sua soluzione è chiamata “congettura di Keplero”.

 

Il metodo migliore, abbastanza semplice, consiste nel disporre sfere in strati a simmetria esagonale e sovrapporli, in modo che le sfere di uno strato si incastrino nelle cavità di quello sottostante; in questo modo ogni sfera ne tocca 12 altre, 6 sul suo piano, 3 sopra e 3 sotto. Ogni piano di sfere si trova quindi tra due piani che possono essere sia con centri sovrapposti, che non, come mostra la figura seguente

 

Il miglior impacchettamento possibile di sfere

 

I centri delle sfere dei piani a contatto col piano di sfere blu (uno sopra e uno sotto) possono essere in corrispondenza dei centri delle cavità rosse o di quelle gialle: se i due piani hanno sfere che occupano le cavità dello stesso colore, comprimendo la configurazione le sfere blu diventeranno dodecaedri rombici, altrimenti dodecaedri trapezo-rombici. I primi sono poliedri delimitati da 12 rombi identici, i secondi da 6 rombi e 6 trapezi; tagliando uno dei due solidi a metà e ruotando le parti di 60° prima di riunirle, si ottiene l’altro.

Sembra che il geologo inglese William Barlow (Londra, 8/8/1845 – Great Stanmore, Inghilterra, 28/2/1934) sia stato il primo a indicare nel 1883 che i due modi di sovrapporre i piani danno luogo a due configurazioni distinte, anche se equivalenti da punto di vista della densità.

Sia Keplero che Barlow notarono che la disposizione con strati alternativamente sovrapposti equivale a quella che si ottiene collocando sfere ai vertici e nei centri delle facce di un reticolo cubico, oppure disponendo le sfere in strati a reticolo quadrato, collocando le sfere di uno strato nelle cavità formate da 4 sfere del piano sottostante. I piani del reticolo esagonale sono perpendicolari alle diagonali maggiori del cubo.

Non è facile convincersi che le due disposizioni descritte sono equivalenti, anche con un disegno ben fatto, ma ci si può riuscire costruendo un modellino con bilie o palline da ping pong e un po’ di colla.

Passarono ben 24 anni prima che Barlow pubblicasse, insieme col suo collega William Jackson Pope, sul Journal of the Chemical Society una precisazione, sfuggita a tutti per secoli: dato che la scelta di come sovrapporre piani successivi si propone indipendentemente dalle precedenti per ogni piano di sfere, esistono infiniti modi di realizzare disposizioni di sfere della massima densità possibile, comprendenti infinite varianti non periodiche, almeno lungo una direzione..

La densità della disposizione (ossia la frazione di spazio occupata) è Densità del miglior impacchettamento di sfere possibile.

 

Qualcuno tentò anche di risolvere il problema o di verificare la correttezza della soluzione con un approccio sperimentale.

Già Keplero scrisse che i semi del melograno, strettamente impacchettati nel miglior modo possibile, finiscono con l’assumere la forma di dodecaedri rombici.

Nel 1727 il fisiologo inglese Stephen Hales (Bekesbourne, Inghilterra, 17/9/1677 – Teddington, UK, 4/1/1761) scrisse nel suo libro Vegetable Staticks d’aver compresso piselli strettamente impacchettati, ottenendo dodecaedri regolari. L’esperimento è noto come “i piselli di Buffon”, perché descritto anche dal naturalista e matematico George Louis Leclerc, conte di Buffon (Montbard, Francia, 7/9/1708 – Parigi, 16/4/1788) e da allora è stato ripetuto (con successo!) da altri. Senza voler mettere in dubbio l’onestà degli sperimentatori, è evidente che la non perfetta sfericità dei piselli, la loro disomogeneità, la differenza di dimensioni tra l’uno e l’altro, fanno sì che la compressione produca forme irregolari, che non è possibile misurare con precisione, nelle quali è facile “vedere” ciò che ci si aspetta.

Tra l’altro Hales affermò d’aver ottenuto dodecaedri abbastanza regolari, mentre comprimendo la disposizione di sfere di Keplero si dovrebbero ottenere dodecaedri rombici o trapezo-rombici; dato che le facce di questi solidi sono quadrilateri, mentre le facce dei dodecaedri regolari sono pentagoni, qualcosa non quadra. Inoltre i dodecaedri regolari non tassellano lo spazio e lascerebbero spazi vuoti tra loro.

 

Comunque nel 1939 il botanico Edwin B. Matzke, non riuscendo ad ottenere i risultati desiderati con i piselli, ripeté l’esperimento, con pallini di piombo accuratamente disposti e ottenne i previsti dodecaedri.

 

Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, Germania, 30/4/1777- Gottinga, Germania, 23/2/1855) nel 1831, rivedendo Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen (Studi sulle proprietà delle forme quadratiche ternarie positive) di Ludwing August Seeber (1793 – 1855), produsse una dimostrazione completa, in due e tre dimensioni, limitatamente alle configurazioni regolari.

Il caso generale di una disposizione irregolare di sfere rimase però insoluto.

 

Nel 1900 David Hilbert (Königsberg, Germania, oggi Kaliningrad, Russia, 23/1/1862 – Gottinga, Germania, 14/2/1943), allora uno dei più famosi matematici viventi, fu invitato a tenere una conferenza durante il congresso di matematica a Parigi, elencò 23 problemi che secondo lui rappresentavano le più importanti sfide da affrontare. La congettura di Keplero rappresentava parte del diciottesimo problema della lista.

 

Claude Ambrose Rogers (Cambridge, Inghilterra, 1/11/1920 – Londra, 5/12/2005) dimostrò nel 1958 che la densità della miglior disposizione possibile non supera Limite superiore per la densità del miglior impacchettamento di sfere possibile, limite poi ridotto a circa 0.77844 (J.H. Lindsey II, 1986), a circa 0.77836 (Doug J. Muder 1988) e infine a circa 0.77306 (Muder, 1993).

Nel suo articolo Rogers scrisse che “molti matematici credono, e tutti i fisici sanno, che la congettura di Keplero è vera”, una frase divenuta famosa.

 

Il problema fu generalizzato a dimensioni superiori e nel 1965 John Leech stupì il mondo matematico trovando la miglior disposizione nota di ipersfere a 24 dimensioni, ma il nostro semplice spazio tridimensionale resisteva ostinatamente.

 

Finalmente nel 1998 Thomas Callister Hales pubblicò una dimostrazione corretta, che per i puristi presenta un piccolo inconveniente: dopo il teorema dei quattro colori, per la seconda volta nella storia della matematica venne trovata una dimostrazione che richiede, per essere verificata, calcoli talmente lunghi e complessi che nessun essere umano può verificarli manualmente.

La dimostrazione di Hales comprende anche 250 pagine di testo.

Nel 2014 Hales annunciò il completamento di una prova formale tramite un sistema di verifica automatica; si tratta sempre di una verifica compiuta da un calcolatore, ma i passi possono ora essere verificati da un essere umano (dotato di molta pazienza).

 

La costante di Hermite γn è definita come Formula per la definizione della costante di Hermite γ(n), dove dn è la massima densità raggiungibile in n dimensioni e Volume di un’ipersfera di raggio unitario a n dimensioni è il volume di un’ipersfera di raggio unitario a n dimensioni.

Spesso si preferisce considerare la potenza n-esima della costante γn, che sembra avere un’espressione più semplice: per i primi valori di n, infatti, le potenze sono razionali, anche se non è noto se lo siano tutte.

 

La tabella seguente riporta la densità delle migliori disposizioni in varie dimensioni. Nelle dimensioni maggiori di 3 le disposizioni sono ottimali tra quelle regolari (con centri delle ipersfere in corrispondenza di punti di un reticolo regolare); non è stato dimostrato che non esistano disposizioni irregolari migliori, ma è molto improbabile. Va tuttavia notato che in alcuni casi (al momento, in 10, 11 e 13 dimensioni) le migliori disposizioni note non sono regolari.

n

Densità dn

Autore della dimostrazione

Costante di Hermite γn

Costante di Hermite γ(n) alla n-esima potenza

1

1

 

1

1

2

Densità del miglior impacchettamento in 2 dimensioni

A. Thue, 1910

Costante di Hermite γ(2)

Costante di Hermite γ(2) al quadrato

3

Densità del miglior impacchettamento in 3 dimensioni

T. C. Hales, 1998

Costante di Hermite γ(3)

2

4

Densità del miglior impacchettamento in 4 dimensioni

A. Korkin e G. Zolotarev, 1877

Costante di Hermite γ(4)

4

5

Densità del miglior impacchettamento in 5 dimensioni

A. Korkin e G. Zolotarev, 1877

Costante di Hermite γ(5)

8

6

Densità del miglior impacchettamento in 6 dimensioni

H.F. Blichfeldt, 1934

Costante di Hermite γ(6)

Costante di Hermite γ(6) alla sesta potenza

7

Densità del miglior impacchettamento in 7 dimensioni

H.F. Blichfeldt, 1934

Costante di Hermite γ(7)

64

8

Densità del miglior impacchettamento in 8 dimensioni

H.F. Blichfeldt, 1934

2

256

24

Densità del miglior impacchettamento in 24 dimensioni

J. Leech, 1965

4

281474976710656

 

Fino a non molto tempo fa si sapeva che la disposizione di H.F. Blichfeldt è la miglior disposizione regolare possibile in 8 dimensioni e che se ne esiste una irregolare più densa, l’incremento di densità non supera 1 • 10–30.

Analogamente si sapeva che la disposizione di Leech è la miglior disposizione regolare possibile in 24 dimensioni e che se ne esiste una irregolare più densa, l’incremento di densità non supera 1.65 • 10–30 (Henry Cohn e Abhinav Kumar, 2004).

Nel 2016, Maryna Viazovska dimostrò che la disposizione di Blichfeldt è la migliore possibile in 8 dimensioni, indipendentemente dalla regolarità, e poco dopo dimostrò che quella di Leech è la migliore in 24 dimensioni, sempre indipendentemente dalla regolarità.

 

Hans Frederick Blichfeldt (Illar, Danimarca, 9/1/1873 – Palo Alto, California, 16/11/1945) dimostrò nel 1929 che Limite superiore per il valore di γ(n).

Nel 1978 G.A. Kabatyanskii e V.I. Levenshtein dimostrarono che Limiti inferiore e superiore per la densità del miglior impacchettamento, dove la costante c si ricava da una complicata espressione e vale circa –0.59905, ed è stato dimostrato che per n abbastanza grande vale Limiti inferiore e superiore per il valore di γ(n).

Inoltre il teorema di Minkowski – Hlawka stabilisce che per disposizione regolari in n dimensioni si può raggiungere una densità pari almeno a Limite inferiore per la densità del miglior impacchettamento regolare.

 

Stanislav Ulam notò acutamente che sembra che la sfera sia il solido convesso che permette la peggior disposizione, nel senso che non arriva a occupare i Tre quarti del volume disponibile. Alcuni solidi, come il cubo, vari prismi e tetraedri, permettono di occupare completamente lo spazio (tecnicamente, tassellano lo spazio) altri, come il tetraedro regolare, pur non arrivando a tanto permettono densità maggiori di quella ottenibile con le sfere.

Nessuno però si è neppure avvicinato a una dimostrazione di questa congettura, che potrebbe essere falsa. La congettura, infatti, non vale in due dimensioni; K. Reinhardt costruì un “ottagono smussato”, iniziando da un ottagono regolare e smussando i vertici con archi di iperbole, tangenti ai lati adiacenti e aventi per asintoti i lati a loro volta adiacenti a questi. La figura piana ottenuta permette una disposizione con densità massima Densità massima dell'impacchettamento dell'ottagono smussato di Reinhardt, peggiore di quella del cerchio e ritenuta la peggiore possibile.

 

Il problema si pone solo per figure convesse, perché con i solidi o figure piane concave si arriva a disposizioni con densità piccole a piacere: pensate a sfere cave, con uno o più fori o tagli; tra loro possono essere disposte come sfere, ma dato che la cavità centrale non è occupabile e può essere espansa, riducendo il solido a una pellicola sottile a piacere, la densità può essere ridotta quanto si vuole. Anche senza ricorrere cavità, si può ottenere una densità piccola a piacere con solidi non convessi a forma di riccio: una piccola sfera centrale con lunghissime e sottili “spine” ramificate che tengono a distanza le altre sfere.

 

Il problema della disposizione rigida con la minima densità possibile è stato affrontato solo in 2 e 3 dimensioni.

Una disposizione in n dimensioni è rigida solo se un’ipersfera ne tocca almeno n + 1 altre e i punti di contatto non si trovano tutti in una stessa emisfera. In altri termini, nessuna sfera deve potersi muovere se tutte le altre restano ferme; non è stabile in senso strutturale, perché, per esempio, in 3 dimensioni la struttura crollerebbe rapidamente alla minima sollecitazione, come una colonna di sfere appoggiate l’una sull’altra.

 

La peggior disposizione nota in 2 dimensioni è mostrata nella figura seguente e ha densità uguale a 2 / 3 della disposizione migliore, vale a dire π / (3 * sqrt(3)).

 

Il peggior impacchettamento possibile di cerchi

 

 

In 3 dimensioni la semplice disposizione con le sfere disposte a reticolo tetraedrico, come gli atomi di carbonio nel diamante, ha densità sqrt(3) / 16 * π , ma non è il peggiore possibile: nel 1932 David Hilbert descrisse una disposizione con densità circa uguale a 0.132 e l’anno successivo Heinrich Heesh e Fritz Laves ne pubblicarono uno con densità pari a circa 0.0555, la minima oggi nota.

Bibliografia

  • Cohn-Vossen, S.;  Hilbert, David;  Geometry and the Imagination, New York, AMS Chelsea Publishing, 1999 -

    Riedizione del libro originariamente pubblicato nel 1932.

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.
  • Szpiro, George G.;  Kepler’s Conjecture, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003.

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