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Duali (numeri)

Algebra 

Costituiscono un’algebra bidimensionale associativa e commutativa sui reali, analoga a quella dei complessi. Si ottengono aggiungendo ai reali un numero ε non nullo, né positivo né negativo né reale (come l’unità immaginaria), ma con la proprietà ε2 = 0.

Un numero duale si esprime quindi come a + bε, con a e b reali.

 

Si può definire il “coniugato” come abε e la proprietà di ε ci permette di definire le operazioni sui numeri duali:

  • (a + bε) ± (c + dε) = (a ± c) + (b ± d)ε;

  • (a + bε)(c + dε) = ac + (ad + bc)ε;

  • Formula per la divisione di numeri duali, per c diverso da zero.

Nel caso della divisione però vi è un’importante differenza rispetto ai numeri complessi: se c è zero, vale a + bε = (x + yε)dε = dxε, quindi l’equazione a + bε = (x + yε)dε ha per soluzione Risultato della divisione per un numero duale con parte reale nulla per ogni valore reale di y, ovvero la divisione per un numero reale con parte reale nulla Divisione per un numero duale con parte reale nulla è indeterminata.

 

Per l’elevamento a potenza dei numeri duali vale la formula (a + bε)c + dε = ac + (bcac – 1 + dloga)ε e in particolare eεx = 1 + εx.

Un numero duale a + bε può anche essere rappresentato tramite la matrice Rappresentazione matriciale dei numeri duali, conservando le proprietà delle operazioni.

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