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Bilanciati (numeri) (I)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “bilanciati” i numeri naturali n per i quali σ(n) è un multiplo di φ(n).

Per esempio, 35 è bilanciato, perché σ(35) = 48 è un multiplo di φ(35).

 

Quelli inferiori a 10000 sono: 1, 2, 3, 6, 12, 14, 15, 30, 35, 42, 56, 70, 78, 105, 140, 168, 190, 210, 248, 264, 270, 357, 418, 420, 570, 594, 616, 630, 714, 744, 812, 840, 910, 1045, 1240, 1254, 1485, 1672, 1848, 2090, 2214, 2376, 2436, 2580, 2730, 2970, 3080, 3135, 3339, 3596, 3720, 3828, 3956, 4064, 4180, 4522, 4674, 5016, 5049, 5278, 5396, 5544, 5940, 6270, 6426, 6678, 7110, 7668, 8008, 8636, 8680, 8932, 9240.

Qui trovate i 5782 inferiori a 109.

 

Non è stato dimostrato che siano infiniti.

 

Non possono essere bilanciati i quadrati e i doppi dei quadrati, perché per essi σ(n) è dispari, mentre φ(n) è pari.

 

Se 2p– 1 (con p primo) è un primo di Mersenne, n = 2p – 2(2p – 1) è bilanciato, vale a dire che un numero uguale alla metà di un numero perfetto è bilanciato. Infatti σ(n) = (2p – 1 – 1)2p e φ(n) = 2p – 3(2p – 2) = 2p – 2(2p – 1– 1) e σ(n) = 4φ(n).

 

Dato che le funzioni σ e φ sono moltiplicative, se m e n sono bilanciati e primi tra loro, mn è bilanciato.

Vedi anche

Funzione σ, Funzione φ.

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