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Rappresentazione dei numeri

Rappresentazione dei numeri  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Rappresentazione degli interi
  3. 3. Rappresentazione in basi naturali differenti da 10
  4. 4. Rappresentazione in base 2
  5. 5. Rappresentazione in base 12
  6. 6. Rappresentazione in basi diverse dai numeri naturali
  7. 7. Rappresentazione dei numeri razionali
  8. 8. Rappresentazione dei numeri reali

Per rappresentare i numeri reali nell’antichità prevalsero due sistemi: le somme di frazioni egizie e una sorta di notazione posizionale, simile alla nostra, nella quale però le cifre che rappresentano la parte frazionaria erano intese come numeri interi di nuove unità, che erano frazioni dell’unità base. Così, per esempio, per i Sumeri 35°27’12” non rappresentava un numero composto da tre cifre in base 60, quanto piuttosto la somma di tre misure con differenti unità di misura, ciascuna con un proprio nome (gradi, minuti primi e minuti secondi).

 

I Cinesi svilupparono un sistema di misure decimale circa 2000 anni fa, ma anche la loro notazione non prevedeva l’uso di numeri che non fossero interi, quindi Tsu Chhung-Chih poco prima del 500 esprimeva π come: “3 chang, 1 chhih, 4 tshun, 1 fên, 5 li, 9 hao, 2 miao, 7 hu”, dove chang, chhih etc. erano unità di lunghezza.

 

Ancora gli Arabi, che pure utilizzavano una notazione posizionale decimale, quando dovevano rappresentare numeri reali, utilizzavano la notazione sessagesimale sumera, che tuttora sopravvive nelle misure del tempo e degli angoli.

 

L’idea di rappresentare i numeri reali come somme di numeri interi di frazioni a denominatore fisso, dando in pratica “nomi” alle singole cifre dopo il punto decimale, come “primi”, “secondi” e “terzi”, resistette ostinatamente. Per ridurre il numero di cifre erano necessarie basi grandi e la base 60 restò popolare incredibilmente a lungo; con essa due o tre “cifre” bastavano a soddisfare le necessità di precisione fin dopo il Rinascimento.

 

Lentamente si fece strada l’idea di estendere la notazione posizionale alle parti inferiori all’unità, viste come frazioni di questa e non come multipli interi di unità di misura differenti.

Passando a una notazione posizionale pura, si poneva il problema della separazione tra parte intera e parte decimale, per distinguere, per esempio, 1.2 da 12 e furono escogitate varie soluzioni.

 

Nell’1 d.C. il matematico cinese Liu Hsin introdusse una notazione decimale per i numeri reali, che però ebbe poco seguito.

 

Nel II secolo Tolomeo utilizzava una barra verticale per separare la parte intera da quella frazionaria.

 

Nel 263 il matematico cinese Liu Hui introdusse una vera notazione decimale per i numeri reali.

 

Nel 952 Abu’l Hasan Ahmad ibn Ibrahim al-Uqlîdisî pubblicò a Damasco Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi (Capitoli sull’aritmetica indiana, noto come L’aritmetica di Al-Uqlîdisî), nel quale propagandò l’uso della notazione indiana, introducendo un simbolo per il punto decimale (una sorta di apice) ma il suo notevole lavoro passò praticamente inosservato.

 

Nel 1525 il tedesco Christof Rudolff (Javor, Polonia, 1499 – Vienna, 1545) riscoprì la stessa idea, ma non ebbe maggior fortuna del suo precursore arabo.

 

Anche nel 1579, quando François Viète (Fontenay-le-Comte, Francia, 1540 – Parigi, 23/2/1603) ripropose l’idea, non vi furono molti consensi; i tempi erano però maturi per una soluzione efficiente e quando il belga Simon Stevin (1548 – 1620) nel 1585 ripropose la notazione, spiegando dettagliatamente in De Thiende come utilizzarla per svolgere calcoli, questa venne finalmente accettata. La diffusione venne anche favorita dall’introduzione, poco dopo, dei logaritmi decimali e delle relative tavole, che semplificarono enormemente i calcoli scientifici.

 

Per rappresentare i numeri reali si possono poi utilizzare altri metodi:

Sebbene queste rappresentazioni siano poco pratiche per fare i conti, il loro studio ha portato a una migliore comprensione delle proprietà dei numeri reali.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Winkler, Peter;  Mathematical Puzzles, Wellesley, A.K. Peters Ltd., 2004.

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