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Rappresentazione dei numeri

Rappresentazione dei numeri  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Rappresentazione degli interi
  3. 3. Rappresentazione in basi naturali differenti da 10
  4. 4. Rappresentazione in base 2
  5. 5. Rappresentazione in base 12
  6. 6. Rappresentazione in basi diverse dai numeri naturali
  7. 7. Rappresentazione dei numeri razionali
  8. 8. Rappresentazione dei numeri reali

Esistono varie alternative alla rappresentazione dei numeri tramite la comune notazione posizionale in una base costituita da un numero naturale. Le rappresentazioni qui riportate sono principalmente di interesse teorico, ma alcune hanno trovato applicazioni pratiche all’interno dei calcolatori elettronici.

 

Per numeri interi molto grandi conviene talvolta usare la rappresentazione basata sui residui. Si prendono k moduli mr, positivi e primi tra loro, e si rappresenta un intero n tramite la sequenza dei suoi resti modulo i vari mr: n = (n1, n2, … nk), dove nr = n mod mr. Si possono in questo modo rappresentare tutti gli interi inferiori al prodotto dei moduli.

Il vantaggio di questa rappresentazione è che somme, sottrazioni e soprattutto moltiplicazioni richiedono un tempo che varia linearmente con k, ossia in pratica col logaritmo del massimo numero rappresentabile. Infatti, se a = (a1, a2, … ak) e b = (b1, b2, … bk), allora a + b = (a1 + b1 mod m1, a2 + b2 mod m2, … ak + bk mod mk) e ab = (a1b1 mod m1, a2b2 mod m2, … akbk mod mk). Anche il tempo richiesto per le divisioni è ridotto in modo analogo.

Lo svantaggio è rappresentato dal tempo richiesto per convertire i risultati dei calcoli in una rappresentazione più convenzionale.

Questa rappresentazione è talvolta usata per calcoli con numeri di migliaia o milioni di cifre, perché il maggior tempo per la conversione del risultato è ampiamente compensato dal tempo risparmiato nei calcoli, senza contare che spesso la conversione non è neppure necessaria: la risposta del lungo calcolo può essere la semplice informazione se un numero abbia una certa proprietà, per esempio, se sia primo o no.

 

Un’altra rappresentazione che ha destato un certo interesse per le applicazioni nelle unità aritmetiche dei calcolatori è la rappresentazione degli interi in basi miste: si prendono due basi b1 e b2 (di solito 2 e 3) e si rappresenta un numero come Formula per la rappresentazione di un numero in basi miste, con i vari dk, m uguali a 0 o 1. Questa rappresentazione permette di rendere più veloci molte operazioni aritmetiche, in particolare la moltiplicazione, a scapito della memoria utilizzata per rappresentare i numeri: la rappresentazione è ridondante, nel senso che possono esistere più rappresentazioni per uno stesso numero e con k cifre binarie utilizzando le basi 2 e 3, si rappresentano gli interi da 0 a Massimo intero rappresentabile con k cifre binarie in basi 2 e 3, invece che fino a 2k – 1. Per esempio, 16 bit permettono di rappresentare gli interi sino a 600, invece che sino a 65535.

 

L’idea di utilizzare basi negative è decisamente più esotica, ma tecnicamente corretta: qualsiasi numero può essere rappresentato in basi intere negative minori di –1. In questo caso le cifre si intendono alternativamente sommate e sottratte, quindi, per esempio nella cosiddetta base negadecimale, che utilizza –10 per base, 123 rappresenta 1 • (–10)2 + 2 • (–10)1 + 3 • (–10)0 = 100 + (–20) + 3 = 83.

Vittorio Grünvald (Giornale di matematiche di Battaglini, 1885) fu il primo a considerare basi negative, spiegando come calcolare le quattro operazioni, estrarre radici ed effettuare prove di divisibilità. Il suo lavoro passò completamente inosservato e la stessa idea venne riproposta da A.J. Kempner (American Mathematical Monthly, 1936) e da Donald Ervin Knuth, nel 1955, in un lavoro scritto quando frequentava ancora le medie superiori.

 

Sono possibili anche basi reali, come la rappresentazione in base φ; quando scriviamo un numero abc.de in una base x, intendiamo ax2 + bx1 + cx0 + dx–1 + ex –2; le cifre restano intere e sono minori di |x|. Come base si può utilizzare qualsiasi numero diverso da –1, 0 e 1. Con basi reali la rappresentazione di un dato numero non è in generale unica, a meno che si impongano condizioni restrittive sulla rappresentazione stessa.

 

Dobbiamo limitarci a basi di rappresentazione reali? Assolutamente no! La base può essere un qualsiasi numero complesso, con modulo diverso da 0 e 1. Prendendo Radice quadrata di –2 come base, si ha un sistema di rappresentazione che utilizza solo le cifre 0 e 1, per indicare se sommare o meno la corrispondente potenza della base, con lo svantaggio però che numeri “semplici”, come i, hanno uno sviluppo infinito e non periodico.

Prendendo 2i come base (la cosiddetta base “quater-immaginaria”) si può rappresentare qualsiasi numero reale o complesso con le sole cifre 0, 1, 2 e 3, senza bisogno di segni! (Donald Ervin Knuth, Communications of ACM, 3, 1960).

Il principio è il solito, ma la base immaginaria permette di rappresentare anche numeri negativi e complessi, senza bisogno segni o di unità immaginarie esplicitamente indicate. In questo caso le regole per le quattro operazioni assomigliano molto a quelle solite, con alcune differenze nella gestione dei riporti di somma e sottrazione. Sinora comunque l’industria dei circuiti elettronici ha prestato scarsa attenzione al suggerimento, che pure darebbe vari benefici nei calcoli con numeri complessi, incluso il fatto di non dover trattare parte reale e parte immaginaria separatamente.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Winkler, Peter;  Mathematical Puzzles, Wellesley, A.K. Peters Ltd., 2004.

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