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Rappresentazione dei numeri

Rappresentazione dei numeri  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Rappresentazione degli interi
  3. 3. Rappresentazione in basi naturali differenti da 10
  4. 4. Rappresentazione in base 2
  5. 5. Rappresentazione in base 12
  6. 6. Rappresentazione in basi diverse dai numeri naturali
  7. 7. Rappresentazione dei numeri razionali
  8. 8. Rappresentazione dei numeri reali

In vari tipi di notazione, e in particolare in quelle posizionali, si pone il problema della scelta della base di rappresentazione dei numeri: a seconda della posizione, infatti, le cifre si intendono moltiplicate per potenze della base, ma la scelta di questa resta totalmente arbitraria.

Quando scriviamo un numero abc.de in notazione decimale intendiamo a • 102 + b • 101 + c • 100 + d • 10–1 + e • 10–2. Al posto del 10 possiamo però utilizzare qualsiasi altro intero maggiore di 1, quindi, p. es., 123 in base 5 rappresenta 1 • 52 + 2 • 51 + 3 • 50 = 38.

La base 10 è universalmente diffusa in epoca moderna ma non è necessariamente la più conveniente. In particolare la tecnologia dei calcolatori elettronici rende conveniente al loro interno la base 2.

 

Sembra che Pascal sia stato il primo ad accorgersi che qualsiasi intero maggiore di 1 può essere utilizzato come base di una rappresentazione. Scrisse, infatti: “Denaria enim ex institute hominum, non ex necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita est” (la notazione decimale è stata scelta, abbastanza scioccamente, per abitudine umana, non per necessità naturale, come molti credono).

 

Comunemente si crede che la notazione decimale sia dovuta al fatto che abbiamo 10 dita e che le stesse rappresentano un supporto per i conteggi talmente comodo da rendere assurda una qualsiasi altra scelta, pertanto sembra “impossibile” che sia mai stata fatta una scelta differente, tuttavia nell’antichità furono utilizzate molte altre basi di numerazione e rappresentazione, in particolare 12, 20 e 60, e per strano che possa sembrare, tra le notazioni posizionali la nostra “ovvia” base 10 fu tra le ultime introdotte.

La scelta antropomorfa delle basi si riflette nei nomi stessi dei numeri: l’inglese digit (cifra) deriva dal latino digitus (dito), in russo piat (cinque) e simile a piast (mano tesa), il sanscrito pantcha (cinque), dal quale deriva il greco πέντε (pente), è simile al persiano pentcha (mano) e spulciando i dizionari di varie lingue si possono trovare numerosi altri esempi.

Ma anche ammettendo l’uso della mano per contare, 10 è una scelta del tutto obbligata? Pickover riferisce che gli indiani Yuki Pomo del Nord America usavano una numerazione in base 8, perché utilizzavano gli spazi tra le dita, invece delle dita stesse, per contare.

 

I Sumeri usavano una notazione posizionale in base 60, poi ereditata dai Babilonesi, i Maya una in base 20 e residui di numerazione vigesimale restano ancora in molte lingue moderne (“quatre-vingt” per 80 in francese). Altri popoli utilizzavano sistemi anche più complessi: di fatto, la numerazione romana impiega contemporaneamente le basi 5 e 10.

 

Più che dall’uso delle dita dei piedi, come alcuni fantasiosamente sostengono, l’uso della base 20 deriva dalla possibilità di impiegare ciascun dito in due modi diversi (per esempio, piegandolo o estendendolo).

 

Le basi multiple di 3, in particolare 12 e 60, sono frutto di una scelta precisa per semplificare i calcoli: introducendo 6, 12 o 60 tra i divisori della base, si rendevano possibili suddivisioni in un gran numero di parti, senza lasciare sgradevoli resti. Mentre utilizzando multipli di 10 le divisioni esatte in 3, 6, 7 e 9 parti sono in genere impossibili, basta un 6 (o 12 o 60) tra i vari fattori di scala per poter dividere qualsiasi somma, peso o lunghezza senza resti per tutti i numeri fino a 12, tranne 5, 7 e 11.

 

Gli antichi Greci usavano una notazione decimale, però il loro sistema di monete mostrava tracce di numerazione sessagesimale: la dracma (l’unità fondamentale) valeva 6 oboli; cento dracme formavano una mina, ma ci volevano sessanta mine per fare un talento.

Analogamente la sterlina inglese si suddivideva in 20 scellini e ciascuno di questi in 12 penny.

Probabilmente però, più che come residuo di numerazioni arcaiche, in questi casi prevaleva la comodità nelle divisioni.

 

Alcuni sistemi di numerazione non decimale sopravvivono ancora in tempi recenti, come il sistema in base 5 degli Arawak (Nord America) o il sistema in base 20 dei Tamanas (regione dell’Orinoco); in quest’ultimo caso potrebbe trattarsi di una lontana eco della numerazione Maya.

 

In India per rappresentare numeri enormi era in uso una notazione che prevedeva termini specifici per i numeri della forma 1000 • 100n, ossia mille per una potenza di 100. Tracce della notazione rimangono nei termini, di uso corrente, lakh per centomila e crore per 10 milioni; inoltre mentre in quasi tutto il mondo si usa suddividere le cifre di numeri grandi a gruppi di 3, con punti o virgole, per facilitarne la lettura, in India si usa una virgola dopo le migliaia (ossia dopo tre cifre partendo dall’unità), ma poi una virgola ogni due cifre. Quindi 107 si indica non come 10,000,000, ma come 1,00,00,000, notazione che permette una facile “lettura”, usando appunto i vecchi termini.

 

Basi differenti da quelle citate sono rimaste di uso teorico o hanno avuto un uso più limitato, ma non sono state totalmente trascurate, come mostra la tabella seguente.

Base

Applicazioni

1

Numerazioni primitive.

2

Calcolatori elettronici.

3

Insieme di Cantor (tutti i punti dell’insieme di Cantor possono essere rappresentati in base 3 utilizzando solo le cifre 0 e 2).

Una delle prime macchine calcolatrici, costruita in legno nel 1840 da Thomas Fowler.

Proposta per l’uso in calcolatori elettronici basate si tecnologie differenti da quella consueta.

4

Trasmissione dati.

Rappresentazione della curva di Hilbert.

5

Utilizzata dagli Arawak (Nord America).

6

Generazione di numeri e frasi casuali (per esempio da usare come parole chiave per crittografia e controllo di accessi) tramite dadi; esistono tabelle per la conversione di esiti di lanci di dadi in caratteri alfabetici in vari alfabeti.

8

Studiata personalmente da Carlo XII di Svezia e proposta da questi nel 1717 in sostituzione della base 10 (la proposta non ebbe seguito).

Utilizzata per codificare i permessi di accesso nel file system di Unix

10

La base di uso più frequente nella civiltà moderna.

12

Lingue Janji (Nigeria), Gbiri-Niragu (Nigeria), dialetto Nimbia del Gwandara (Nord della Nigeria), Chepang (Nepal), Mahl (Isola di Minicoy, India).

Proposta da Pascal e in seguito da molti altri per l’uso universale, al posto della base 10, proposta tuttora sostenuta (con scarso successo) dalla Dozenal Society in USA e Regno Unito.

13

Utilizzata nel calendario Maya.

14

Utilizzata nella programmazione dell’HP 9100A/B.

15

Instradamento della telefonia su IP.

Lingua Huli (Nuova Guinea).

16

Rappresentazione più semplice da utilizzare (per gli esseri umani) per i numeri rappresentati in base 2 all’interno dei calcolatori elettronici.

18

Usata in calendari centroamericani (in particolare Maya).

20

Numerazione utilizzata dalle civiltà celtiche e Maya.

Utilizzata dai Tamanas (regione dell’Orinoco).

27

Lingua Telefol (Nuova Guinea) e Oksapmin (Nuova Guinea).

32

Lingua Ngiti (Congo). Codifica dei caratteri in base 32 (utilizzata dalle telescriventi).

36

Codifica dei caratteri in base 36.

60

Numerazione sumera.

64

Codifica dei caratteri in base 32.

85

Codifica dei caratteri in base 85; sviluppata da Paul E. Rutter, permette di codificare 5 caratteri in 4 byte; utilizzata nei formati Postscript e PDF.

 

Alla luce della loro recente introduzione, non è troppo sorprendente che i nomi per sistemi di rappresentazione non decimale apparvero solo in tempi relativamente recenti: il primo riferimento a “ottale”, nome oggi comunemente accettato per la rappresentazione in base 8, risale al 1961 e “esadecimale” per la base 16 è ancor più recente e di origine oscura (è un orribile misto di radici latine e greche, mentre “sedecimale” sarebbe più appropriato).

 

Nella storia sono state utilizzate anche numerazioni in basi miste, nelle quali le cifre in posizioni diverse non vanno moltiplicate per una potenza di una base unica, ma per basi diverse.

Nonostante sembrino (e, in effetti, siano!) molto scomode, queste rappresentazioni permeano la nostra vita quotidiana: un intervallo di tempo misurato in giorni, ore, minuti, secondi e frazioni usa le basi 24, 60, 60, 60 e 10, mentre la rappresentazione degli angoli usa le basi 60 e 10 (per le frazioni di secondo).

Sebbene la misura degli angoli tramite gradi e loro frazioni sessagesimali sia universalmente in uso da 5 millenni, l’uso delle misure angolari nella cartografia, ossia dei gradi per indicare latitudine e longitudine, arrivò molto tempo dopo: il primo utilizzo risale al priore di origine francese Walcher dell’abbazia di Malvern (UK), nel 1120.

 

Nonostante la base 10 sia da molto tempo universalmente accettata, non sono mancati i tentativi di sostituirla.

 

Agli inizi del ‘700 Leibniz sostenne i vantaggi della base 2.

 

Erhard Weigel nel 1673 propose la base 4.

 

Carlo XII di Svezia (Tre Kronor, Svezia, 17/6/1682 – Fredrikshald, Norvegia, 30/11/1718), probabilmente l’unico regnante che abbia mai avuto un serio interesse per la matematica (e il più dotato di talento), riteneva che l’uso di una base che fosse un cubo avrebbe semplificato i calcoli e incaricò Emanuel Swedenborg (Stoccolma, 29/1/1688 – Londra, 29/3/1772) di esaminare la questione, suggerendo la base 64. Swedenborg ritenne (correttamente) che una base del genere avrebbe richiesto non solo 64 nomi per i numeri, ma soprattutto l’uso di una tabella di moltiplicazioni 64 × 64, piuttosto ostica da imparare a memoria, e suggerì l’uso di una base più modesta. Il monarca svedese concentrò quindi i suoi sforzi sulla base 8, la propose nel 1717 e ne considerò l’introduzione nel suo Paese, ma morì in battaglia prima di poter mettere in atto il suo proposito.

 

Nel XVIII secolo l’ingegnere svedese John W. Nystrom (1825 – 1885), propose la base 16, per la quale coniò il termine “sistema tonale”, ma anche la base 12, per la quale suggerì il termine “duodenale”, senza rendersi conto dell’orribile doppio senso (in varie lingue).

 

Qualcuno tentò anche di andare nella direzione opposta, utilizzando la base 10 al posto di altre basi di uso consolidato: nel 1793 la Francia rivoluzionaria, dopo aver adottato il sistema metrico, tentò anche di convertire la misura del tempo a unità decimali. Il giorno fu così diviso in 10 ore, di 100 minuti, di 100 secondi, per un totale di 100000 secondi in un giorno, invece di 86400. Nel 1794 il nuovo sistema divenne obbligatorio e furono prodotti orologi basati sul “secondo decimale”, con quadranti recanti 10 ore (oggi pezzi rarissimi, disputati dai collezionisti) e persino orologi con il doppio quadrante, presumibilmente per abituare le persone al cambiamento in modo graduale. La confusione generata dal nuovo sistema fu tale, che venne abbandonato 6 mesi dopo e nessun paese, per quanto ne sappia, tentò più un esperimento del genere.

Nessun paese, ma qualche azienda sì: nel 1998 la Swatch lanciò un orologio che divideva il giorno in 1000 parti uguali (di 86.4 secondi) e lo tenne nel catalogo per un anno, prima di ritirarlo, a causa dell’imbarazzante insuccesso delle vendite.

 

Gli unici cambiamenti in questa direzione riguardano le unità di misura, lentamente convertite da svariate basi (principalmente 2, 12, 20) alla base 10, in concomitanza col passaggio al sistema metrico decimale. Il cambiamento più vistoso in questo senso fu la conversione delle frazioni di sterlina inglese (scellino e penny) da un sistema con basi 20 e 12 al sistema decimale il 15/2/1971 (noto come “Decimal Day”).

Tra le unità di misura con basi diverse da 10 resiste ostinatamente (e ci auguriamo di doverlo sopportare ancora per poco) solo il sistema di misure anglosassoni.

 

Il cambio di rappresentazione può avere conseguenze che vanno ben oltre le intenzioni dei propugnatori, fino a condizionare l’esistenza di monumenti storici.

La forma di conteggio più antica è rappresentata, come spiegato, da tacche su ossa di animali o altri supporti. Ogni tacca corrispondeva a un oggetto, per esempio un capo di bestiame, e l’osso permetteva di verificarne il conteggio presso popolazioni ancora incapaci di esprimere i concetti di numeri. Tali sistemi di numerazione divennero obsoleti quando uno sconosciuto sumero tracciò il primo simbolo su una tavoletta d’argilla, ma le vecchie abitudini sono dure a morire: la Banca d’Inghilterra emise monete sotto forma di tacche incise sino al 1826. A dire la verità, il sistema era un perfezionamento di quello paleolitico: il valore era dato dalla distanza tra due tacche (una tabella del 1186 riporta che alla distanza dello spessore di un mignolo corrispondeva il valore di 20 sterline, a quella uguale allo spessore di un pollice ben 100 sterline).

La procedura utilizzata consisteva nell’annotare un valore sotto forma di tacche su un pezzo di legno, diviso poi nel senso della lunghezza, in modo che il taglio attraversasse le tacche. Si ottenevano così due parti chiamate stock e foil: la banca (o il debitore) tratteneva il foil e il cliente (o il creditore) lo stock (da cui il termine stockholder per “azionista”).

Per tutto il Medio Evo sistemi del genere rimasero in uso in Europa, con differenti codifiche basate su numero e posizione delle tacche. Erano sistemi di ricevute relativamente economici e sicuri, per la tecnologia dell’epoca: solo i due pezzi originali potevano combaciare perfettamente ed eventuali tacche fraudolentemente aggiunte su una parte non avrebbero combaciato quelle sull’altra parte.

Nel 1834, quando ormai il sistema era stato abbandonato, il tesoro inglese decise di disfarsi dell’enorme massa di foil accumulati nei secoli e ormai inutili. Con la lungimiranza tipica dei politici, scelsero di servirsi di un forno, elegantemente rivestito di legno, situato sotto il palazzo di Westminster, pure di legno, e di bruciare tutti i bastoncini insieme. Il risultato, non troppo sorprendente, fu l’incendio che distrusse il palazzo: se spesso l’abuso di strumenti finanziari ha fatto tremare o cadere governi, in questo caso, pressoché unico, l’eccesso di stock ridusse in cenere le due camere.

La ricostruzione, se non altro, ci ha donato il palazzo che oggi possiamo ammirare e il Big Ben, con la sua misurazione sumera, ma funzionale, del tempo.

 

Se si stabilisce di usare una base intera positiva b, bisogna per forza usare le cifre da 0 a b – 1? Assolutamente no: sono possibili varie scelte, una delle quali consiste nell’uso delle cifre da Valore della minima cifra utilizzata a Valore della massima cifra utilizzata, scelta particolarmente felice se b è dispari. Già Cauchy (Comptes Rendus, Parigi 1840) notò che non è necessario imparare la tabella delle moltiplicazioni oltre 5 × 5 (se si è disposti a perdere un po’ di tempo per eseguire qualche sottrazione) e sembra che i matematici indiani fossero a conoscenza della possibilità di utilizzare insieme cifre positive e negative già un millennio fa.

Se b = 3, si ha il cosiddetto “sistema ternario bilanciato”, che richiede solo le cifre 0, 1 e –1, usualmente scritta come 1. Non è difficile costruire circuiti elettronici che utilizzino questa rappresentazione e, in effetti, ne sono stati costruiti almeno due, entrambi presso l’Università di Stato di Mosca da Nikolay Brusentsov: il russo SETUN alla fine degli anni ’50 (Communications of ACM, 1960) e il suo successore (SETUN-70) nel 1970. Queste macchine offrivano vantaggi in termini di consumo di energia e costi di produzione, ma furono soppiantate dai calcolatori binari.

 

La tecnologia attuale preferisce l’uso di due differenti tensioni, la tensione di riferimento, o nulla, e un valore prefissato, per memorizzare e trasmettere segnali e rende quindi naturale l’utilizzo della rappresentazione binaria. Se però i futuri sviluppi porteranno ad avere tre differenti livelli (la tensione nulla e due valori, simmetrici, uno positivo e uno negativo) il sistema ternario bilanciato si dimostrerà utile. Tra i vantaggi, servono meno “trit” che bit per rappresentare un numero fissato.

Il sistema ternario bilanciato potrebbe essere utilizzato in futuri calcolatori basati su tecnologia ottica, con due polarizzazioni ortogonali della luce per le cifre –1 e 1 e l’assenza di luce per lo zero.

Per rassicurarvi preciso la rappresentazione interna dei numeri in un calcolatore non ha relazione con quella esterna; quale che sia la prima, i calcolatori continueranno a scrivere i numeri nella familiare notazione decimale.

 

I calcolatori elettronici hanno portato allo sviluppo di varie codifiche per i caratteri alfabetici, che utilizzano basi ancor più stravaganti: avete mai usato la base 85? Molto spesso, anche se non direttamente: di fatto, la impiegate quando aprite documenti in formato Postscript o PDF.

 

Alcune annotazioni matematiche sulla rappresentazione degli interi in basi diverse da 10.

 

J.H. Loxton e A.J. van der Poorten proposero nel 1987 il problema di stabilire se tutti i numeri naturali si possano rappresentare come quoziente di due numeri naturali che, scritti in base 4, non contengano la cifra 2 (più precisamente, che possano essere scritti con le cifre 0, 1 e –1 in base 4). La risposta è affermativa in base 4, negativa in qualsiasi base superiore e ancora sconosciuta in base 3.

 

Se indichiamo con Nb(n) il numero di cifre nella rappresentazione di n in base b e con Sb(n) la loro somma, per n abbastanza grande il valore medio di Espressione che coinvolge il numero di cifre usate per rappresentare n e la loro somma è massimo per b = 5.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Winkler, Peter;  Mathematical Puzzles, Wellesley, A.K. Peters Ltd., 2004.

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