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Rappresentazione dei numeri

Rappresentazione dei numeri  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Rappresentazione degli interi
  3. 3. Rappresentazione in basi naturali differenti da 10
  4. 4. Rappresentazione in base 2
  5. 5. Rappresentazione in base 12
  6. 6. Rappresentazione in basi diverse dai numeri naturali
  7. 7. Rappresentazione dei numeri razionali
  8. 8. Rappresentazione dei numeri reali

La rappresentazione dei numeri naturali oggi universalmente adottata è quella posizionale in base 10, ma naturalmente non è stato così sempre e ovunque.

 

Per i naturali la rappresentazione più semplice è in base 1: si utilizzano tanti simboli (tutti uguali) quanto il numero che si vuol rappresentare. Così per esempio, usando I come simbolo, la ripetizione di 7 simboli I indica il numero 7: IIIIIII.

Il primo esempio di rappresentazione del genere è l’osso di Lebombo, ritrovato sui monti Lebombo, tra Sudafrica e Swaziland; un perone di babbuino di circa 44000 anni fa, sul quale una mano destinata a restare sconosciuta incise 29 tacche; il primo conteggio giuntoci, anche se non sappiamo di cosa. Alcuni speculano trattarsi di una sorta di calendario, usato per tenere traccia dei giorni del ciclo lunare, ma potrebbe essere servito a contare le prede cacciate da un gruppo. Mi piace fantasticare pensando che un nostro antenato, dopo aver scoperto che non poteva spartire le prede tra i cacciatori senza farne a pezzi alcuna, si sia chiesto se avrebbe avuto le stesse difficoltà con un gruppo comprendente un diverso numero di membri, arrivando a scoprire il concetto di numero primo; la matematica potrebbe essere nata durante un banchetto!

Di poco più recente è un femore di lupo, ritrovato a Vestonice (repubblica Ceca) nel 1937 sul quale furono incise 55 tacche, in 11 gruppi di 5, intorno al 30000 a.C.. Un manufatto lievemente più evoluto, nel quale forse la suddivisione a gruppi di 5 serviva a facilitare il conteggio.

L’osso di Ishango, un altro perone di babbuino, con un cristallo di quarzo a un’estremità, ritrovato nel 1960 a Ishango, sulla costa Nord del lago Edoardo, in quella che oggi è la Repubblica Democratica del Congo dal belga Jean de Heinzelin de Brancourt (6/8/1920 – 4/11/1998) e datato a oltre 20000 anni fa, presenta tre serie di tacche:

  • 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7;

  • 11, 13, 17, 19;

  • 11, 21, 19, 9.

Potrebbe trattarsi di un conteggio di oggetti, ma i gruppi irregolari di tacche hanno portato alcuni a speculare sul fatto che possa dimostrare una qualche forma di promemoria aritmetico. Poco probabile, perché non sembra esserci alcuna relazione ovvia tra i numeri e il fatto che la seconda serie sia formata esclusivamente da numeri primi è probabilmente solo una coincidenza.

 

Per inciso, gli Arara dell’Amazzonia usano una nomenclatura dei numeri che è appena migliore della rappresentazione in base 1: utilizzano le parole anane per uno e adak per due, e indicano i numeri superiori ripetendo adak tante volte quante necessarie, aggiungendo poi anane se il numero è dispari. Chiaramente è facile confondersi anche solo provando a pronunciare numeri dell’ordine della dozzina.

 

Rappresentazioni del genere però possono andar bene solo per popoli estremamente primitivi, sia per le difficoltà nei calcoli che vadano oltre addizione e sottrazione, sia perché il numero di simboli necessari le rendono scomode già per numeri dell’ordine di appena poche decine. Per ovviare a quest’ultimo inconveniente furono introdotti simboli differenti per decine, centinaia, migliaia e altre potenze di 10. Abbiamo così una rappresentazione simile a quella dei numeri romani (che però ammette anche l’uso della sottrazione): MDCXXIII indica 1000 + 500 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 1623.

 

I primi simboli per valori superiori a 10 apparvero in Egitto, intorno al 3400 a.C., e in Mesopotamia, circa 4 secoli dopo. Si trattava di numerazioni in base 10, ma differenti dalle nostre, perché utilizzavano simboli differenti per unità, decine e centinaia (tutte le potenze di 10 fino al milione nel caso degli Egizi) e non erano posizionali: ogni simbolo andava ripetuto tante volte quante necessario e il mettere i simboli in ordine decrescente di valore era più una questione di praticità e uniformità, che una necessità.

 

Seguirono notazioni che utilizzavano simboli diversi per unità, decine e centinaia, in numero da 1 a 9. Mentre noi utilizziamo lo stesso simbolo per indicare lo stesso numero di unità, decine o centinaia ed è la posizione a permetterci di capire a che si riferisca, le prime numerazioni usavano simboli diversi.

Così per esempio in 165, 351, 521, la cifra 5 compare in tre posizioni diverse ed è la posizione all’interno del numero che le conferisce un diverso valore (unità, decine, centinaia), le prime numerazioni utilizzavano invece simboli diversi per 5 decine, 5 unità, 5 centinaia.

Servivano quindi almeno 27 simboli per arrivare a 1000 (in base 10), perché si poteva fare a meno dello zero, concetto che oggi appare ovvio, ma che allora ispirava diffidenza.

Quando comparvero gli alfabeti fonetici, quasi tutti i popoli ricorsero alle lettere per indicare i numeri, al massimo aggiungendo qualche segno se l’alfabeto conteneva meno di 27 lettere. Questo riduceva il numero di simboli da imparare, anche se si prestava a qualche confusione (e a interpretazioni numeriche ed esoteriche delle parole).

Anche in Egitto i numerali ieratici erano rappresentati tramite 36 simboli per unità, decine, centinaia e migliaia.

Alcuni popoli utilizzarono il trucco di ripetere i simboli, almeno fino a 3 o 4 volte, per indicare un multiplo del valore base, in modo da aver bisogno di meno simboli diversi, realizzando una notazione ibrida.

Per numeri al di sopra di una certa soglia (di solito 1000) si riciclavano gli stessi simboli, con l’aggiunta di un indicatore, come una lineetta sopra latino (v. numeri romani).

 

Un caso particolare è quello della notazione romana, nella quale si ripetevano i simboli fino a tre volte, poi si ricorreva al trucco di scriverli a sinistra di quello di maggior valore per indicare la sottrazione. Così per esempio XI indicava 10 + 1 = 11, ma IX indicava 10 – 1 = 9.

Lo svantaggio stava nella maggior complessità delle operazioni, ma potevano cavarsela con due soli simboli per ogni potenza di 10: uno per la potenza, l’altro per 5 volte tale valore; in pratica con 6 soli simboli rappresentavano i numeri fino alle migliaia.

 

In molte civiltà un simbolo apposito indicava poi che una certa sequenza di lettere in un testo rappresentava un numero e non una parola, ma talvolta l’interpretazione era semplicemente lasciata al buon senso di chi leggeva, che doveva capire dal contesto cosa significasse ogni sequenza di lettere.

 

La Grecia antica ci fornisce un buon esempio dell’evoluzione: l’antica numerazione attica utilizzava lettere maiuscole (iniziali delle corrispondenti parole) per 1, 5, 10, 100, 1000 e 10000; i Greci dell’età omerica utilizzavano una notazione in base mista 5 e 10, simile a quella romana. Poi a Mileto, probabilmente intorno al V secolo a.C., venne sviluppata una notazione basata sulle lettere dell’alfabeto con 27 simboli, aggiungendo 3 lettere (koppa, stigma e sampì) all’alfabeto standard di 24 lettere, dando alle stesse un valore crescente in ordine alfabetico: α, β, γ ecc. significavano 1, 2, 3 ecc., ι, κ, λ, ecc. indicavano 10, 20, 30 e ρ, σ ecc. stavano per 100, 200 ecc.. Così ιβ significava 12, mentre ρβ voleva dire 102, e non serviva indicare l’assenza di una cifra. Il prezzo da pagare erano simboli aggiuntivi per migliaia e milioni, ma il loro uso era così raro, sia nella vita comune, che tra i matematici, che l’inconveniente era insignificante. La notazione si diffuse e finì col soppiantare la precedente (nel 402 a.C. nel caso di Atene).

In alcune tavole astronomiche si trova anche la cifra zero, probabilmente importata dai resti degli imperi babilonesi e persiani, quando Alessandro il Grande li conquistò nel 331 a.C., ma l’uso sembra limitato all’astronomia (v. zero).

All’inizio spesso non si trovava alcun simbolo speciale per distinguere i numeri dalle parole, poi prevalse l’uso di una sopralineatura, che sopravvisse per tutto il Medio Evo; si passò quindi al simbolo keraia, una sorta di accento acuto o apice, posto dopo la sequenza di lettere; lo stesso simbolo capovolto e posto in basso prima delle lettere indicava trattarsi di migliaia.

 

Le rappresentazioni di questo tipo erano però scomode per rappresentare numeri molto grandi e per eseguire le operazioni e vennero definitivamente soppiantate nel Medio Evo dalla notazione posizionale in base 10, con 10 simboli per i numeri da 0 a 9, gli stessi in qualsiasi posizione, mentre la posizione (prima, seconda, terza cifra ecc.) indica per quale potenza della base (1, 10, 100 ecc.) vada moltiplicata ogni cifra. Il problema di questa rappresentazione, almeno agli occhi delle antiche culture, era che richiedeva la presenza di un simbolo per indicare lo zero, per poter distinguere, per esempio, 904 da 94, e la cifra zero era vista con estrema diffidenza (a dir poco).

Comunemente quindi si fa coincidere la nascita della notazione posizionale con l’introduzione della cifra zero (non del numero zero, più recente), anche se non è chiaro dove e quando avvenne, tuttavia vi sono vari esempi di notazioni posizionali che fanno a meno della cifra zero con vari metodi, il più curioso dei quali fu quello di Āryabhaţa (v. zero).

 

La prima notazione realmente posizionale (in base 60) fu introdotta dai Sumeri intorno al 2000 a.C.; la notazione prevedeva di utilizzare spazi o un semplice puntino al posto delle cifre mancanti, ma è chiaro che in questo modo, scrivendo a mano, è facile causare ambiguità ed errori (per non parlare delle frodi). La notazione era in realtà una notazione mista in base 10 e 60, perché, sebbene in base 60 da un punto di vista matematico, non utilizzava 59 simboli differenti, ma solo due, per unità e decine, ripetuti secondo necessità a costituire un’unica “cifra”.

Si trattava comunque di un passo avanti enorme, che fu ignorato per quasi tre millenni.

 

Nel 1360 a.C. in Cina fu introdotta una notazione moltiplicativa: per scrivere 350 si utilizzava il simbolo per 3, seguito da quello per 100, poi il simbolo per 5, seguito da quello per 10.

 

Gli Olmechi usavano un simbolo per lo zero nel IV secolo a.C. e i Maya lo ereditarono, utilizzandolo intorno al 400 d.C. in una notazione posizionale in base 20. I popoli dell’America precolombiana arrivarono in ritardo rispetto ad altri all’idea di una notazione posizionale, ma furono i primi a concepire l’idea di una vera e propria cifra di valore nullo.

Naturalmente tutto questo fu scoperto solo in tempi relativamente recenti e comunemente si attribuisce ai matematici indiani il merito dell’invenzione del simbolo. Lo zero come cifra fu probabilmente introdotto intorno al 680 in Cambogia e Sumatra, come semplice segnaposto, per una cifra “mancante”; la prima testimonianza scritta certa in Asia risale all’876, in India (v. zero).

 

Gli Arabi, in contatto con la cultura indiana, compresero i vantaggi della notazione e la adottarono subito; spetta ad Abu Jafar Muhammad ibn-Musa al-Kwaritzmi (780 circa – 850 circa) il merito della diffusione dell’idea da Baghdad in tutto il mondo arabo.

 

Il fatto che la notazione posizionale provenisse da una cultura considerata “nemica” per motivi religiosi (e soprattutto economici) ne rallentò la diffusione in Europa.

Gerberto d’Aurillac (Aurillac, Francia c. 946 – Roma 12/5/1003), più noto come Papa Silvestro II, fu un fautore della notazione posizionale, chiamata “araba”, anche se di origine indiana, ma non fu ascoltato: il papa più competente in matematica della storia fu anzi accusato di stregoneria (principalmente per motivi politici).

La diffusione in Europa dovette aspettare ancora alcuni secoli. In Italia in particolare fu Leonardo Pisano, col suo Liber Abaci (1202) a diffonderla, non senza difficoltà: se i contabili apprezzavano la facilità con la quale potevano essere eseguite le operazioni, in particolare moltiplicazioni e divisioni, i professionisti dell’abaco non vedevano di buon occhio la concorrenza e la Chiesa diffidava di qualunque innovazione venisse dall’Islam.

Nel 1299 Firenze bandì addirittura l’uso delle cifre arabe nelle scritture contabili, ma per un motivo pratico: si rivelavano più facili da falsificare, trasformando 0 in 6 o 9, 6 in 8, 1 in 7 ecc. con la semplice aggiunta di archi o trattini, mentre per falsificare i numeri romani era necessario aggiungere o togliere cifre intere.

La maggior praticità della notazione posizionale alla fine ne decretò il successo, seppur lentamente: solo nel XV secolo i numeri romani scomparvero dall’uso aritmetico, sopravvivendo solo per indicare i numeri ordinali.

 

In assenza di una cifra zero, viene da chiedersi come fosse rappresentato il numero zero: la risposta è che veniva accuratamente evitato! Nelle culture antiche non si trovano, per esempio, problemi di matematica elementare che abbiano zero come soluzione, ma questo non valeva solo per chi affrontava i primi rudimenti dell’aritmetica: nessuno dei problemi di Diofanto ha zero come soluzione. Nella pratica quando capitava che un calcolo desse zero come risultato, si utilizzava una perifrasi come “non resta nulla” per descrivere il risultato.

I matematici sentirono a un certo punto il bisogno di esprimere il concetto e Tolomeo introdusse nel 130 d.C. un simbolo per il numero zero, che però ebbe scarsa fortuna.

 

Per i numeri interi esistono anche alternative più curiose, come utilizzare somme di numeri di Fibonacci o di numeri della forma bn +1 (v. autonumeri).

Tra le altre va ricordata la base fattoriale, nella quale la cifra n-esima (da destra) va moltiplicata per n!; per esempio, 2301F = 2 • 4! + 3 • 3! + 0 • 2! + 1 • 1! = 2 • 24 + 3 • 6 + 0 • 2 + 1 • 1 = 43. La cifra di posto n puo valere al massimo n!, quindi questa notazione, che resta confinata tra le curiosità aritmetiche, può costringere all’uso di cifre molto grandi, per le quali è difficile trovare una notazione adeguata.

 

Per quanto riguarda numeri enormi, varie culture hanno dato nomi a singoli numeri molto grandi, come per esempio Asankhyeya, ma pochissimi matematici sentirono il bisogno di una notazione specifica.

Nel III secolo a.C. Archimede introdusse una notazione, basata sulle potenze di 10 e 10000, per numeri che andavano ben oltre le capacita di immaginazione dei suoi contemporanei, notazione che, essendo troppo in anticipo sui tempi e non necessaria, non fu apprezzata e non fu mai realmente usata. La notazione inoltre utilizzava nomi, non simboli, per descrivere tali numeri e non era posizionale.

Nel corso dei secoli man mano che alcune categorie particolari di numeri interi molto grandi venivano definite e studiate, furono sviluppate per esse notazioni compatte, come avvenne per potenze, fattoriali, primoriali, subfattoriali e superfattoriali (v. notazione matematica).

Una notazione molto particolare introdotta da Donald Ervin Knuth nel 1976 (v. numeri di Ackermann) ebbe maggior fortuna di quella di Archimede, anche perché l’unica in grado di rappresentare certi numeri dei quali nel frattempo i matematici avevano avuto bisogno, come i numeri di Ackermann e il numero di Graham.

 

Per quanto riguarda i numeri negativi, il segno – oggi universalmente usato comparve in Europa nel XVI secolo (v. notazione matematica), mentre prima erano state proposte varie notazioni (v. numeri negativi), assai poco usate dai matematici, che trattavano tali numeri con estrema diffidenza.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

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