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Rappresentazione dei numeri

Rappresentazione dei numeri  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Rappresentazione degli interi
  3. 3. Rappresentazione in basi naturali differenti da 10
  4. 4. Rappresentazione in base 2
  5. 5. Rappresentazione in base 12
  6. 6. Rappresentazione in basi diverse dai numeri naturali
  7. 7. Rappresentazione dei numeri razionali
  8. 8. Rappresentazione dei numeri reali
  9. 9. Rappresentazione di numeri molto grandi

La rappresentazione dei numeri naturali oggi universalmente adottata è quella posizionale in base 10, ma naturalmente non è stato così sempre e ovunque.

 

Per i naturali la rappresentazione più semplice è in base 1: si utilizzano tanti simboli (tutti uguali) quanto il numero che si vuol rappresentare. Così per esempio, usando I come simbolo, la ripetizione di 7 simboli I indica il numero 7: IIIIIII.

Il primo esempio di rappresentazione del genere è l’osso di Lebombo, ritrovato sui monti Lebombo, tra Sudafrica e Swaziland; un perone di babbuino di circa 44000 anni fa, sul quale una mano destinata a restare sconosciuta incise 29 tacche; il primo conteggio giuntoci, anche se non sappiamo di cosa. Alcuni speculano trattarsi di una sorta di calendario, usato per tenere traccia dei giorni del ciclo lunare, ma potrebbe essere servito a contare le prede cacciate da un gruppo. Mi piace fantasticare pensando che un nostro antenato, dopo aver scoperto che non poteva spartire le prede tra i cacciatori senza farne a pezzi alcuna, si sia chiesto se avrebbe avuto le stesse difficoltà con un gruppo comprendente un diverso numero di membri, arrivando a scoprire il concetto di numero primo; la matematica potrebbe essere nata durante un banchetto!

Di poco più recente è un femore di lupo, ritrovato a Vestonice (repubblica Ceca) nel 1937 sul quale furono incise 55 tacche, in 11 gruppi di 5, intorno al 30000 a.C.. Un manufatto lievemente più evoluto, nel quale forse la suddivisione a gruppi di 5 serviva a facilitare il conteggio.

L’osso di Ishango, un altro perone di babbuino, con un cristallo di quarzo a un’estremità, ritrovato nel 1960 a Ishango, sulla costa Nord del lago Edoardo, in quella che oggi è la Repubblica Democratica del Congo dal belga Jean de Heinzelin de Brancourt (6/8/1920 – 4/11/1998) e datato a oltre 20000 anni fa, presenta tre serie di tacche:

  • 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7;

  • 11, 13, 17, 19;

  • 11, 21, 19, 9.

Potrebbe trattarsi di un conteggio di oggetti, ma i gruppi irregolari di tacche hanno portato alcuni a speculare sul fatto che possa dimostrare una qualche forma di promemoria aritmetico. Poco probabile, perché non sembra esserci alcuna relazione ovvia tra i numeri e il fatto che la seconda serie sia formata esclusivamente da numeri primi è probabilmente solo una coincidenza.

 

Prima di liquidare come rozze e primitive le rappresentazioni di interi basate su un segno per ogni unità, considerate che sono in uso ancora oggi: quando si tratta di contare oggetti in numero relativamente piccolo, è comune l’abitudine di fare un segno di spunta per ogni unità, generalmente raggruppando i segni in gruppi di 5, per rendere più facile il conteggio; quando un gruppo di 5 è completato, se ne inizia un altro. In questo modo per poche decine di oggetti un colpo d’occhio permette di contare i simboli completi, da moltiplicare per 5, per poi aggiungere le unità corrispondenti al simbolo incompleto.

Nel Nord America si tracciano comunemente quattro linne verutcali, mentre la quinta è tracciata diagonalmente, costituendo il simbolo noto come “cancelletto a quattro sbarre”; nel Sud America per lo stesso scopo si traccia un quadrato, un lato per ogni oggetto, mentre il quinto è tracciato come una diagonale del quadrato appena formato e in Cina, Giappone e Corea si scrive l’ideogramma che significa “corretto” in 5 passi successivi.

 

Vari popoli primitivi avevano una nomenclatura dei numeri che è appena migliore della rappresentazione in base 1: utilizzavano sono i numerali per indicare uno, due e “tanti”, inteso come “più di due” (v. due).

 

Rappresentazioni del genere però possono andar bene solo per popoli estremamente primitivi, sia per le difficoltà nei calcoli che vadano oltre addizione e sottrazione, sia perché il numero di simboli necessari le rendono scomode già per numeri dell’ordine di appena poche decine. Per ovviare a quest’ultimo inconveniente furono introdotti simboli differenti per decine, centinaia, migliaia e altre potenze di 10. Abbiamo così una rappresentazione simile a quella dei numeri romani (che però ammette anche l’uso della sottrazione): MDCXXIII indica 1000 + 500 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 1623.

 

I primi simboli per valori superiori a 10 apparvero in Egitto, intorno al 3400 a.C., e in Mesopotamia, circa 4 secoli dopo. Si trattava di numerazioni in base 10, ma differenti dalle nostre, perché utilizzavano simboli differenti per unità, decine e centinaia (tutte le potenze di 10 fino al milione nel caso degli Egizi) e non erano posizionali: ogni simbolo andava ripetuto tante volte quante necessario e il mettere i simboli in ordine decrescente di valore era più una questione di praticità e uniformità, che una necessità.

 

Seguirono notazioni che utilizzavano simboli diversi per unità, decine e centinaia, in numero da 1 a 9. Mentre noi utilizziamo lo stesso simbolo per indicare lo stesso numero di unità, decine o centinaia ed è la posizione a permetterci di capire a che si riferisca, le prime numerazioni usavano simboli diversi.

Così per esempio in 165, 351, 521, la cifra 5 compare in tre posizioni diverse ed è la posizione all’interno del numero che le conferisce un diverso valore (unità, decine, centinaia), le prime numerazioni utilizzavano invece simboli diversi per 5 decine, 5 unità, 5 centinaia.

Servivano quindi almeno 27 simboli per arrivare a 1000 (in base 10), perché si poteva fare a meno dello zero, concetto che oggi appare ovvio, ma che allora ispirava diffidenza.

Quando comparvero gli alfabeti fonetici, quasi tutti i popoli ricorsero come gli Ebrei alle lettere per indicare i numeri, al massimo aggiungendo qualche segno se l’alfabeto conteneva meno di 27 lettere. Questo riduceva il numero di simboli da imparare, anche se si prestava a qualche confusione (e a interpretazioni numeriche ed esoteriche delle parole).

Anche in Egitto i numerali ieratici erano rappresentati tramite 36 simboli per unità, decine, centinaia e migliaia.

Alcuni popoli utilizzarono il trucco di ripetere i simboli, almeno fino a 3 o 4 volte, per indicare un multiplo del valore base, in modo da aver bisogno di meno simboli diversi, realizzando una notazione ibrida.

Per numeri al di sopra di una certa soglia (di solito 1000) si riciclavano gli stessi simboli, con l’aggiunta di un indicatore, come una lineetta sopra latino (v. numeri romani).

 

In questi casi la lettera che rappresentava un numero differiva dal “nome” del numero stesso; per esempio le prime lettera dell’alfabeto rappresentavano solitamente i numeri da 1 a nove, ma non avevano una corrispondenza diretta con i numeri scritti in lettere, come “uno”, “due” ecc.. L’unica eccezione in tutta la storia umana sono gli ideogrammi cinesi che rappresentano numeri, coincidenti col nome del numero rappresentato.

 

Un caso particolare è quello della notazione romana, nella quale si ripetevano i simboli fino a tre volte, poi si ricorreva al trucco di scriverli a sinistra di quello di maggior valore per indicare la sottrazione. Così per esempio XI indicava 10 + 1 = 11, ma IX indicava 10 – 1 = 9.

Lo svantaggio stava nella maggior complessità delle operazioni, ma potevano cavarsela con due soli simboli per ogni potenza di 10: uno per la potenza, l’altro per 5 volte tale valore; in pratica con 6 soli simboli rappresentavano i numeri fino alle migliaia.

Nell’impero romano, basato su un forte esercito ben organizzato e sugli schiavi, nessuno sentì la necessità di una notazione meno scomoda: non fu la notazione a rallentare lo sviluppo della matematica a Roma, ma fu l’assenza di matematici a impedire progressi nella notazione.

 

In molte civiltà un simbolo apposito indicava poi che una certa sequenza di lettere in un testo rappresentava un numero e non una parola, ma talvolta l’interpretazione era semplicemente lasciata al buon senso di chi leggeva, che doveva capire dal contesto cosa significasse ogni sequenza di lettere. Del resto anche oggi talvolta scriviamo 2K per 2000 e 7M per 7 milioni, senza che si creino ambiguità.

 

La Grecia antica ci fornisce un buon esempio dell’evoluzione: l’antica numerazione attica utilizzava lettere maiuscole per le potenze di 10 e le stesse moltiplicate per 5:

  • Simbolo greco arcaico per 5 (una sorta di Π maiuscola, leggermente mutilata, iniziale di Πέντε, cinque) per 5;

  • Δ (iniziale di Δέκα, dieci) per 10;

  • Simbolo greco arcaico per 50 (combinazione dei simboli per 5 e 10) per 50;

  • Η (iniziale di Ἑκατόν, cento, con allungamento della epsilon) per 100;

  • Simbolo greco arcaico per 500 (combinazione dei simboli per 5 e 100) per 500;

  • Χ (inizialedi Χίλιοι, mille) per 1000;

  • Simbolo greco arcaico per 5000Z (combinazione dei simboli per 5 e 1000) per 5000;

  • Μ (inizialedi Μύριοι, diecimila) per 10000;

  • Simbolo greco arcaico per 50000 combinazione dei simboli per 5 e 10000) per 50000.

 

I Greci dell’età omerica utilizzavano quindi una notazione in base mista 5 e 10, simile a quella romana, ma puramente additiva, ripetendo i simboli tante volte quante necessario. Poi a Mileto, probabilmente intorno al V secolo a.C., venne sviluppata una notazione basata sulle lettere dell’alfabeto con 27 simboli, aggiungendo 3 lettere (koppa, stigma e sampì) all’alfabeto standard di 24 lettere, dando alle stesse un valore crescente in ordine alfabetico: α, β, γ ecc. significavano 1, 2, 3 ecc., ι, κ, λ, ecc. indicavano 10, 20, 30 e ρ, σ ecc. stavano per 100, 200 ecc.. Così ιβ significava 12, mentre ρβ voleva dire 102, e non serviva indicare l’assenza di una cifra. Il prezzo da pagare erano simboli aggiuntivi per migliaia e milioni, ma il loro uso era così raro, sia nella vita comune, che tra i matematici, che l’inconveniente era insignificante. La notazione si diffuse e finì col soppiantare la precedente (nel 402 a.C. nel caso di Atene).

n alcune tavole astronomiche si trova anche la cifra zero, probabilmente importata dai resti degli imperi babilonesi e persiani, quando Alessandro il Grande li conquistò nel 331 a.C., ma l’uso sembra limitato all’astronomia (v. zero).

All’inizio spesso non si trovava alcun simbolo speciale per distinguere i numeri dalle parole, poi prevalse l’uso di una sopralineatura, che sopravvisse per tutto il Medio Evo; veniva anche usato il simbolo keraia, una sorta di accento acuto o apice, posto dopo la sequenza di lettere, principalmente per indicare i numeri ordinali; lo stesso simbolo capovolto e posto in basso prima delle lettere indicava trattarsi di migliaia.

 

Le rappresentazioni di questo tipo erano però scomode per rappresentare numeri molto grandi e per eseguire le operazioni e vennero definitivamente soppiantate nel Medio Evo dalla notazione posizionale in base 10, con 10 simboli per i numeri da 0 a 9, gli stessi in qualsiasi posizione, mentre la posizione (prima, seconda, terza cifra ecc. da destra) indica per quale potenza della base (1, 10, 100 ecc.) vada moltiplicata ogni cifra. Il problema di questa rappresentazione, almeno agli occhi delle antiche culture, era che richiedeva la presenza di un simbolo per indicare lo zero, per poter distinguere, per esempio, 904 da 94, e la cifra zero era vista con estrema diffidenza (a dir poco).

Comunemente quindi si fa coincidere la nascita della notazione posizionale con l’introduzione della cifra zero (non del numero zero, più recente), anche se non è chiaro dove e quando avvenne, tuttavia vi sono vari esempi di notazioni posizionali che fanno a meno della cifra zero con vari metodi, il più curioso dei quali fu quello di Āryabhaţa (v. zero).

 

La prima notazione realmente posizionale (in base 60) fu introdotta dai Sumeri intorno al 2000 a.C.; la notazione prevedeva di utilizzare spazi o un semplice puntino al posto delle cifre mancanti, ma è chiaro che in questo modo, scrivendo a mano, è facile causare ambiguità ed errori (per non parlare delle frodi). La notazione era in realtà una notazione mista in base 10 e 60, perché, sebbene in base 60 da un punto di vista matematico, non utilizzava 59 simboli differenti, ma solo due, per unità e decine, ripetuti secondo necessità a costituire un’unica “cifra”.

Si trattava comunque di un passo avanti enorme, che fu ignorato per quasi tre millenni.

 

Nel 1360 a.C. in Cina fu introdotta una notazione moltiplicativa: per scrivere 350 si utilizzava il simbolo per 3, seguito da quello per 100, poi il simbolo per 5, seguito da quello per 10. Un po’ come se oggi scrivessimo 1234 come 1m2c3d4u, dove ‘m’ sta per migliaia, ‘c’ per centinaia, ‘d’ per decine e ‘u’ per unità. Questa rappresentazione, sebbene avanzatissima per l’epoca, aveva lo svantaggio, rispetto a quella indiana, di richiedere in genere il doppio di simboli per rappresentare lo stesso numero, ma aveva il vantaggio di non richiedere lo zero, perché bastava omettere la cifra della corrispondente potenza di 10: 104 sarebbe stato scritto come 1c4u.

I Maya utilizzavano una notazione simile per le iscrizioni sui monumenti, con teste grottesche per indicare il rango delle cifre, mentre pallini rappresentavano le unità e barre verticali rappresentavano cinquine, per non dover arrivare a 19 palline. Scrivo “rango” e non “potenze della base”, perché, sebbene il sistema fosse in base 20, la cifra immediatamente dopo l’unità non rappresentava le ventine, bensì andava moltiplicata per 18; le successive cifre indicavano multipli di 360, 7200 ecc, proseguendo ogni volta con moltiplicazioni per 20. Questa bizzarra notazione probabilmente derivava dal calendario, di 18 mesi di 20 giorni, più 5 giorni extra, e facilitava i relativi calcoli.

Sui manoscritti invece i Maya non indicavano il rango delle cifre, ma a partire dal 400 a.C. avevano una notazione posizionale, successivamente completata con lo zero, ereditato dagli Olmechi, che già lo usavano nel IV secolo a.C. (v. zero). La notazione scritta dei Maya prevedeva sempre 18 come primo rango dopo le unità e le cifre non erano veri e propri simboli distinti, ma combinazioni di pallini e sbarrette, in questo caso orizzontali.

I popoli dell’America precolombiana arrivarono in ritardo rispetto ad altri all’idea di una notazione posizionale, ma furono i primi a concepire l’idea di una vera e propria cifra di valore nullo.

 

Naturalmente tutto questo fu scoperto solo in tempi relativamente recenti e comunemente si attribuisce ai matematici indiani il merito dell’invenzione del simbolo. Lo zero come cifra fu probabilmente introdotto intorno al 680 in Cambogia e Sumatra, come semplice segnaposto, per una cifra “mancante”.

La notazione posizionale in base 10 antenata di quella odierna apparve evoluzione della notazione Brahmi (che utilizzava simboli diversi per unità, decine e centinaia, come quelle greca ed ebraica). Impiegava le prime 9 cifre della notazione Brahmi e un simbolo per lo zero; la prima testimonianza certa di questa notazione è l’iscrizione di Gwalior, risalente all’876 d.C. (v. zero).

 

Una variante sul tema, che eliminava la necessità dello zero, è la notazione arabica detta “gubar”, nella quale si ponevano puntini sopra le cifre per indicarne il rango: nessuno sulla cifra delle unità, uno su quella delle decine, due su quella delle centinaia e così via; con questa notazione, analoga a quella cinese, l’assenza di una cifra non creava ambiguità nella lettura, ma la notazione era scomoda per numeri appena oltre le migliaia. A dispetto degli svantaggi, tanta era la diffidenza nei confronti dello zero, che fu utilizzata a lungo: si ritrova in manoscritti bizantini del XV secolo.

 

Una notazione posizionale interessante, che faceva uso non di nuovi simboli, bensì delle lettere dell'alfabeto, è quella cosiddetta “Katapaya”: con essa in India si facevano corrispondere alle 34 consonanti del sanscrito le cifre da 0 a 9; ogni cifra aveva quindi più rappresentazioni. Combinando le consonanti con le vocali, era possibile rappresentare un numero tramite una parola e di solito in molti modi, cosa che costituiva un grande aiuto mnemonico. Il nome stesso della notazione deriva dalle quattro consonanti che rappresentavano 1: k, t, p e y.

 

Gli Arabi, in contatto con la cultura indiana, compresero i vantaggi della notazione posizionale e la adottarono subito; spetta ad Abu Jafar Muhammad ibn-Musa al-Kwaritzmi (780 circa – 850 circa) il merito della diffusione dell’idea da Baghdad in tutto il mondo arabo.

Il fatto che la notazione posizionale provenisse da una cultura considerata “nemica” per motivi religiosi (e soprattutto economici) ne rallentò la diffusione in Europa.

Gerberto d’Aurillac (Aurillac, Francia c. 946 – Roma 12/5/1003), più noto come Papa Silvestro II, fu un fautore della notazione posizionale, chiamata “araba”, anche se di origine indiana, ma non fu ascoltato: il papa più competente in matematica della storia fu anzi accusato di stregoneria (principalmente per motivi politici).

La diffusione in Europa dovette aspettare ancora parecchio tempo: solo all’inizio del dodicesimo secolo comparvero le traduzioni in latino del testo di al-Khwarizmi, per merito di Robert di Chester, Adelardo di Bath e John di Siviglia (v. zero), insieme con quelle di altri testi arabi di matematica.

In Italia in particolare fu Leonardo Pisano, col suo Liber Abaci (1202) a diffondere la notazione araba, non senza difficoltà: se i contabili apprezzavano la facilità con la quale potevano essere eseguite le operazioni, in particolare moltiplicazioni e divisioni, i professionisti dell’abaco non vedevano di buon occhio la concorrenza e la Chiesa diffidava di qualunque innovazione venisse dall’Islam.

Nel 1299 Firenze con lo Statuto dell’Arte di Cambio bandì addirittura l’uso delle cifre arabe nelle scritture contabili, ma per un motivo pratico: si rivelavano più facili da falsificare, trasformando 0 in 6 o 9, 6 in 8, 1 in 7 ecc. con la semplice aggiunta di archi o trattini, mentre per falsificare i numeri romani era necessario aggiungere o togliere cifre intere.

Dalla parte opposta il califfo Walid I proibì nel 706 l’uso del greco nella sua amministrazione finanziaria, ma contemporaneamente impose l’uso delle lettere greche per rappresentare i numeri nelle scritture contabili.

 

La più antica data scritta in Europa con i numeri arabi apparve nel 1138, su una moneta siciliana di rame.

 

Il primo libro stampato di aritmetica, edito a Treviso nel 1478, insegnava ancora l’uso dell’abaco.

 

La maggior praticità della notazione posizionale, soprattutto nell'esecuzione dei calcoli, alla fine ne decretò il successo, seppur lentamente: solo nel XV secolo i numeri romani scomparvero dall’uso aritmetico, sopravvivendo solo per indicare numeri ordinali.

 

In assenza di una cifra zero, viene da chiedersi come fosse rappresentato il numero zero: la risposta è che veniva accuratamente evitato! Nelle culture antiche non si trovano, per esempio, problemi di matematica elementare che abbiano zero come soluzione, ma questo non valeva solo per chi affrontava i primi rudimenti dell’aritmetica: nessuno dei problemi di Diofanto ha zero come soluzione. Nella pratica quando capitava che un calcolo desse zero come risultato, si utilizzava una perifrasi come “non resta nulla” per descrivere il risultato.

I matematici sentirono a un certo punto il bisogno di esprimere il concetto e Tolomeo introdusse nel 130 d.C. un simbolo per il numero zero, che però ebbe scarsa fortuna.

 

Possiamo quindi catalogare le rappresentazioni dei numeri in quattro grandi categorie:

  • quelle nelle quali esistono simboli per unità, e potenze della base (come decine, centinaia ecc.), da ripetere secondo la necessità, con eventuali simboli intermedi (per esempio per 5, 50, 500 ecc.), come nelle rappresentazioni egizie e greca arcaica, con la variante della possibile sottrazione, come nella notazione romana;

  • quelle nelle quali si usano 9 simboli per le unità, altrettanti per decine e centinaia, come nella numerazione greca antica ed ebraica;

  • quelle nelle quali si usano 9 simboli per le cifre, alle quali si fa seguire un simbolo che indica se trattarsi di unità, decine, centinaia ecc., come nell’antica notazione cinese;

  • quelle posizionali, con 10 cifre, come la notazione indiana, che richiedono lo zero.

L’ordine riflette la progressiva evoluzione verso notazioni sempre più efficienti, ma non necessariamente l’ordine cronologico di adozione: alcune civiltà, come quella romana, usavano notazioni più primitive di quelle usate da civiltà più antiche.

Da notare che solo le ultime due permettono un’agevole esecuzione dei calcoli (la penultima richiede un’attento incolonnamento delle cifre), mentre le prime due richiedono l’uso dell’abaco.

 

Per i numeri interi esistono anche alternative più curiose, come utilizzare somme di numeri di Fibonacci o di numeri della forma bn + 1 (v. autonumeri).

Tra le altre va ricordata la base fattoriale, nella quale la cifra n-esima (da destra) va moltiplicata per n!; per esempio, 2301F = 2 • 4! + 3 • 3! + 0 • 2! + 1 • 1! = 2 • 24 + 3 • 6 + 0 • 2 + 1 • 1 = 43. La cifra di posto n puo valere al massimo n!, quindi questa notazione, che resta confinata tra le curiosità aritmetiche, può costringere all’uso di cifre molto grandi, per le quali è difficile trovare una notazione adeguata.

 

Per quanto riguarda i numeri negativi, il segno – oggi universalmente usato comparve in Europa nel XVI secolo (v. notazione matematica), mentre prima erano state proposte varie notazioni (v. numeri negativi), assai poco usate dai matematici, che trattavano tali numeri con estrema diffidenza.

Bibliografia

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    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

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    Ripubblicazione del testo pubblicato da MIT Press, Cambridge, 1969, trad. di Zahlwort und Ziffer: Eine Kulturgeschichte der Zahlen, Göttingen, Vandenoeck & Ruprecht Publishing Company, 1957-58. Un testo erudito sui termini e simboli usati per rappresentare i numeri.

  • Neugebauer, O.;  The Exact Sciences in Antiquity, New York, Harper Torchbooks, II ediz., 1962.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Winkler, Peter;  Mathematical Puzzles, Wellesley, A.K. Peters Ltd., 2004.

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