Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

La base della nostra notazione numerica. Comunemente si crede che la notazione decimale sia dovuta al fatto che abbiamo 10 dita e che le stesse rappresentano un comodo supporto per i conteggi.

 

Il simbolo per 10 fu il primo simbolo matematico (v. Notazione).

 

Il primo utilizzo documentato della numerazione in base 10 (ma con una notazione non posizionale) risale al 3100 a.C. circa, in Egitto.

 

Dieci è uguale alla somma dei primi 4 numeri naturali (1 + 2 + 3 + 4 = 10), dei primi 3 numeri primi (2 + 3 + 5 = 10), dei quadrati dei primi due numeri dispari (12 + 32 = 10), e dei primi 4 fattoriali (0! + 1! + 2! + 3! = 10).

Dieci è l’unico intero tale che somma e differenza dei suoi due fattori primi siano primi (5 + 2 = 7 e 5 – 2 = 3).

 

Se sommiamo a un numero il prodotto delle sue cifre, ripetendo l’operazione otteniamo sequenze come (nel caso di 10): 11, 12, 14, 18, 26, 38, 62, 74....

La sequenza sembra addirittura aumentare la sua velocità di crescita, ma il termine successivo è 102 e a questo punto il prodotto si annulla, arrestando la crescita.

Uno dei problemi proposti nelle Olimpiadi russe di matematica del 1980 fu dimostrare che questo succede prima o poi, indipendentemente dal numero iniziale (si veda In Pólya’s Footsteps).

La dimostrazione può essere generalizzata a qualsiasi base: in base b una sequenza che contenga un termine di Numero massimo di cifre di un numero della sequenza cifre non può estendersi a un numero maggiore di cifre. Ogni sequenza che inizi con un numero di più cifre potrà al massimo arrivare a numeri con lo stesso numero di cifre.

Nel caso b = 10, ogni sequenza che arrivi a un termine di 22 cifre non può arrivare a 23.

 

Una curiosità della notazione decimale è che si può ottenere ogni numero partendo da 4 e applicando in un ordine opportuno le seguenti operazioni:

  • aggiungere uno zero a destra (ossia moltiplicare per 10);

  • aggiungere un quattro a destra (ossia moltiplicare per 10 e aggiungere 4);

  • dividere per due (solo se il numero è pari).

Per esempio:

  • 4 → 2 → 24 → 12 → 6 → 64 → 32 → 16 → 8;

  • 4 → 2 → 1 → 14 → 144 → 72 → 36 → 18 → 9.

La dimostrazione fu proposta come problema nelle olimpiadi nordiche di matematica del 1990.

 

Per la scomposizione in fattori primi di numeri della forma 10n ± 1 v. numeri di Cunningham.

 

La tabella seguente riporta gli esponenti per i quali 10nk è primo; non esistono primi del genere per k della forma 3m + 1 (tranne 3 per k = 7), pari o multiplo di 5.

Non si sa se, fissato k, vi siano infinite soluzioni o meno.

Le ricerche sono state estese sino a n = 407197 per i primi della forma 10n – 3, fino a n = 221631 per i primi della forma 10n – 9, sino a n = 100000 per gli altri.

k

n

3

1, 2, 3, 17, 140 (Makoto Kamada, 2003), 990 (Makoto Kamada, 2003), 1887 (Makoto Kamada, 2003), 3530 (Makoto Kamada, 2003), 5996 (Henri Lifchitz, 2002), 13820* (Henri Lifchitz, 2002), 21873* (Henri Lifchitz, 2002), 26045* (Henri Lifchitz, 2002), 87720* (Markus Tervooren, 2010), 232599* (Markus Tervooren, 2010)

9

3, 5, 7, 33, 45, 105 (Makoto Kamada, 2003), 197 (Makoto Kamada, 2003), 199 (Makoto Kamada, 2003), 281 (Makoto Kamada, 2003), 301 (Makoto Kamada, 2003), 317 (Makoto Kamada, 2003), 1107 (Makoto Kamada, 2003), 1657 (Makoto Kamada, 2003), 3395 (Makoto Kamada, 2003), 35925* (Jason Earls, 2008), 37597* (Jason Earls, 2008), 64305* (Alexander Gramolin, 2011), 80139* (Alexander Gramolin, 2011), 221631* (Alexander Gramolin, 2011)

11

2, 5, 8, 12, 15, 18, 20, 30, 80, 143, 152, 164, 176, 239, 291, 324, 504, 594, 983, 2894, 22226* (Ray Chandler, 2010), 35371* (Robert Price, 2010), 58437* (Robert Price, 2011), 67863* (Robert Price, 2011)

17

2, 3, 6, 30, 40, 86, 128, 264, 639, 912, 1932, 4650 (Makoto Kamada, 2005), 5038 (Makoto Kamada, 2005), 7410* (Ray Chandler, 2010), 19041* (Ray Chandler, 2010)

21

2, 6, 32, 108, 408, 1286, 2268* (Makoto Kamada, 2004), 2328* (Makoto Kamada, 2004), 4284* (Makoto Kamada, 2004), 53558* (Robert Price, 2011)

 

La tabella seguente riporta gli esponenti per i quali 10n + k è primo, per tutti i valori di n fino a 105.

Non esistono primi del genere per k della forma 3m + 2, pari o multiplo di 5.

Non si sa se, fissato k, vi siano infinite soluzioni o meno.

k

n

1

1, 2

3

1, 2, 5, 6, 11, 17, 18, 39, 56, 101, 105, 107, 123, 413, 426, 2607, 7668, 10470* (Milton L. Brown, 2002), 11021* (Milton L. Brown, 2002), 17753* (Milton L. Brown, 2002), 26927* (Jason Earls, 2007), 60776* (Robert Price, 2011), 98288* (Robert Price, 2011), 300476* (Edward A. Trice, 2012)

7

1, 2, 4, 8, 9, 24, 60, 110, 134, 222, 412, 700, 999, 1383, 5076* (Makoto Kamada, 2004), 5543* (Makoto Kamada, 2004), 6344* (Makoto Kamada, 2004), 14600* (Patrick De Geest, 2005), 15093* (Thomas Masser, 2004), 21717* (Thomas Masser, 2004), 23636* (Jason Earls, 2007), 30221* (Jason Earls, 2007), 50711* (Jason Earls, 2007)

9

1, 2, 3, 4, 9, 18, 22, 45, 49, 56, 69, 146, 202, 272, 2730, 2841, 4562* (Makoto Kamada, 2004), 31810* (Dirk Augustin, 2006), 43186* (Jason Earls, 2007), 48109* (Jason Earls, 2007), 92691* (Robert Price, 2011)

13

1, 2, 3, 17, 25, 81, 140, 142, 152, 280, 291, 406, 4209, 4785, 8474, 9550, 9596, 21773* (Jason Earls, 2008), 22352* (Jason Earls, 2008), 24938* (Jason Earls, 2008), 38428* (Jason Earls, 2008), 48526* (Jason Earls, 2008), 65426* (Robert Price, 2011), 75441* (Robert Price, 2011), 76705* (Robert Price, 2011)

19

1, 3, 5, 7, 10, 11, 17, 59, 81, 108, 574, 629, 1069, 1759, 2063, 2682, 9174, 40929* (Robert Price, 2010), 42457* (Robert Price, 2010), 66033* (Robert Price, 2011)

21

1, 3, 9, 17, 55, 77, 133, 195, 357, 1537, 2629* (Makoto Kamada, 2005), 3409* (Makoto Kamada, 2005), 8007* (Ray Chandler, 2010), 25671* (Robert Price, 2010), 48003* (Robert Price, 2011), 55811* (Robert Price, 2011), 94983* (Robert Price, 2011)

 

Una potenza di 10 è il prodotto di potenze di 2 e 5 con lo stesso esponente, ossia 10n = 2n5n; la tabella seguente riporta gli unici casi noti nei quali le due potenze non contengano zeri, se ne esiste un altro, l’esponente supera 46 milioni.

n

2n

5n

1

2

5

2

4

25

3

8

125

4

16

625

5

32

3125

6

64

15625

7

128

78125

9

512

1953125

18

262144

3814697265625

33

8589934592

116415321826934814453125

Bibliografia

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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