Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

de Polignac (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si dicono “numeri di de Polignac” o “numeri ostinati” (come suggerito da Edwards) i numeri dispari che non sono rappresentabili come somma di una potenza di 2 e un numero primo.

 

Alphonse Armand Charles George Marie, noto come principe de Polignac, avanzò nel 1849 la congettura che ogni intero dispari maggiore di 1 possa essere rappresentato come somma di un numero primo e di una potenza di 2, evidentemente senza sapere che Eulero aveva già trovato 127 e 959 come controesempi.

 

La congettura è falsa per infiniti numeri, il minimo dei quali è 127; il minimo numero composto per il quale non è vera è 905.

Erdös dimostrò nel 1950 che tutti gli interi della forma 2241 • 3 • 5 • 7 • 13 • 241 • n + 1622548664997933681386229593857244360639853287017787157811814622833051518894081 violano la congettura; per il teorema di Dedekind questa progressione comprende infiniti numeri primi e naturalmente infiniti numeri composti. La dimostrazione di Erdös può facilmente essere modificata per generare infinite progressioni aritmetiche con la stessa proprietà.

 

Florian Luca e Pantelimon Stănică dimostrarono nel 2005 che tutti i numeri di Fibonacci Fn con n della forma 3543120k + 1807873 non possono essere rappresentati come somma di una potenza di 2 e di un primo o una potenza di un primo.

 

Daniel Baczkowski, Olaolu Fasoranti e Carrie E. Finch dimostrarono che vi sono infiniti numeri di Lucas dispari non rappresentabili come somma di una potenza di due e di un primo o una potenza di un primo.

 

I numeri di de Polignac inferiori a 1000 sono: 1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997.

Questi numeri non sono poi troppo rari: ve ne sono 46853770 inferiori a 109 (M. Fiorentini, 2012).

Qui trovate i numeri di de Polignac inferiori a 106.

 

Il minimo numero di de Polignac composto è 905 = 5 • 181; il minimo quadrato è 40401 = 2012.

 

Tra i maggiori numeri di de Polignac noti, ricordo 10999 + 18919, che ha 1000 cifre.

 

Esistono coppie di numeri di de Polignac consecutivi, come 905 e 907.

 

Il massimo numero di de Polignac noto non ottenuto da una delle successioni sopra descritte è 10187 – 963 (Daniel Dockery).

 

Sono noti numeri di de Polignac ondulanti, ossia a cifre alternate: il minimo è 6161 e il minimo con cifre dispari è 39393 (v. numeri ondulanti per altri esempi).

 

Il minimo quadrato magico di numeri di de Polignac è il seguente.

4589

10949

1649

2789

5729

8669

9809

509

6869

 

Piuttosto numerosi sono anche i numeri che possono essere rappresentati come somma di un primo e una potenza di 2 in un solo modo, tutti dispari tranne 4 = 2 + 2; ve ne sono 95120205 inferiori 109 (M. Fiorentini, 2012).

I primi sono: 3, 4, 5, 17, 29, 41, 53, 59, 65, 89, 97, 119, 137, 163, 179, 185, 191, 193, 209, 217, 219, 221, 223, 233, 239, 247, 253, 269, 281, 305, 307, 311, 343, 359, 389, 403, 407, 415, 419, 427, 431, 457, 491, 505, 521, 533, 545, 547, 557, 569, 575, 581, 583, 597, 613, 637, 641, 653, 659, 667, 671, 673, 683, 697, 719, 731, 733, 739, 749, 761, 767, 779, 785, 787, 799, 807, 817, 821, 835, 839, 845, 851, 853, 881, 883, 911, 925, 929, 935, 953, 963, 965, 967, 989.

Qui trovate tutti i numeri del genere inferiori a 106.

 

Roger Clement Crocker dimostrò nel 1962 che:

  • per n > 2, 22n – 1 – 1 è un numero di de Polignac;

  • per n > 2, i numeri della forma 224n + 2 – 5 e 224n + 2 – 3 sono una coppia di numeri di de Polignac consecutivi;

  • per n > 2, i numeri della forma 22n – 1 non si possono rappresentare come p + 2k + 2m, con p primo e k diverso da m, ossia come somma di un numero primo e due distinte potenze di 2;

  • esistono infiniti numeri dispari non rappresentabili come p + 2a + 22b con p primo;

  • esiste una progressione aritmetica di numeri dispari non rappresentabili come 2n ± p, con p primo;

  • se an + b è una progressione aritmetica di numeri di de Polignac, (an + b)φ(a) + 1 – (an + b – 1)φ(a) + 1 è un polinomio che per infiniti valori di n ha valori che sono numeri di de Polignac non rappresentabili come somma di un primo e una potenza con esponente φ(a) + 1;

  • se an + b è una progressione aritmetica di numeri di de Polignac, (an + b)φ(a) + 1 è un polinomio che per infiniti valori di n ha valori che sono numeri di de Polignac non rappresentabili come differenza di un primo e una potenza con esponente φ(a) + 1.

 

Nel 1971 Crocker dimostrò che esistono infiniti numeri dispari non rappresentabili come somma di un numero primo e una o due potenze di 2 e che se i vari ak sono divisori maggiori di 1 di numeri di Fermat (ossia di numeri della forma 22n + 1), n > 2 e Numero non rappresentabile come somma di un numero primo e due differenti potenze di 2 è minore di 22n, m non è rappresentabile come somma di un numero primo e due differenti potenze di 2. La dimostrazione vale anche sostituendo 16w + 1 con vari numeri della forma 2aw + b, con a > 4.

 

I numeri non rappresentabili come somma di un numero primo e due potenze di 2 minori di 1010 sono: 1, 3, 5, 6495105, 848629545, 1117175145, 2544265305, 3147056235, 3366991695, 3472109835, 3621922845, 3861518805, 4447794915, 4848148485, 5415281745, 5693877405, 6804302445, 7525056375, 7602256605, 9055691835, 9217432215.

Qui trovate i numeri minori di 1012 non rappresentabili come somma di un numero primo e due potenze di 2 (Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Viene naturale chiedersi se si possa rappresentare qualsiasi intero come somma di un numero primo e un numero finito di potenze di 2. Erdös suppose che vi siano infinite eccezioni, ma tale congettura ebbe vita breve, perché Linnik dimostrò che ogni numero pari abbastanza grande si può rappresentare come somma di due primi e un numero limitato di potenze di 2 (v. primi). Il numero di tali potenze è stato poi ridotto a 9 (J. Pintz e I.Z. Ruzsa, 2003) o addirittura a 7, supponendo vera l’ipotesi generalizzata di Riemann (Heath-Brown e Puchta, 2002).

Ne segue che ogni numero dispari si può rappresentare come somma di due primi, un numero finito di potenze di 2 e 1, che è pur sempre una potenza di 2.

 

Se due primi e 8 o 10 potenze di 2 sono sufficienti per tutti gli interi, resta da stabilire se basti un solo primo e quante potenze siano necessarie.

 

Se si ammette l’uso di potenze di primi, stabilire il numero massimo di addendi necessari è più complicato.

 

Vi sono 38280310 numeri dispari inferiori a 109 non rappresentabili come somma di una potenza di un primo e una potenza di 2 (M. Fiorentini, 2012).

Quelli inferiori a 10000 sono:1, 959, 1199, 1207, 1211, 1243, 1271, 1477, 1529, 1541, 1589, 1719, 1807, 1829, 1859, 1927, 1969, 2171, 2231, 2263, 2279, 2429, 2669, 2983, 2993, 3029, 3149, 3215, 3239, 3341, 3353, 3431, 3505, 3665, 3817, 3845, 3985, 4063, 4151, 4195, 4311, 4503, 4543, 4573, 4589, 4633, 4717, 4781, 4811, 4841, 4843, 4855, 5125, 5143, 5405, 5467, 5609, 5617, 5729, 5731, 5755, 5761, 5771, 5917, 5951, 6001, 6021, 6119, 6161, 6193, 6403, 6433, 6463, 6509, 6535, 6539, 6731, 6757, 6821, 6853, 6941, 7169, 7199, 7267, 7289, 7319, 7343, 7379, 7387, 7389, 7405, 7431, 7535, 7747, 7783, 7799, 7807, 7811, 7813, 7961, 8023, 8031, 8107, 8141, 8159, 8257, 8399, 8411, 8587, 8621, 8789, 8873, 8915, 8981, 9101, 9115, 9307, 9457, 9517, 9557, 9569, 9581, 9641, 9809, 9959.

Qui trovate tutti i numeri del genere inferiori a 106.

 

F. Cohen e J.L. Selfridge dimostrarono nel 1975 che esistono numeri che non possono essere rappresentati come |±pn ± 2m|, cioè come somma o differenza di potenze di un numero primo e di 2, e in particolare che sommando o sottraendo una potenza di 2 a 47867742232066880047611079 non si ottengono potenze di numeri primi. Zhi-Wei Sun dimostò nel 2000 che questo vale per tutti gli interi della forma 66483034025018711639862527490k + 47867742232066880047611079, tra i quali vi sono infiniti numeri primi e infiniti numeri composti.

 

Non è noto quale sia il minimo intero non rappresentabile come somma o differenza di potenze di primi; Zhi-Wei Sun e Yun-Zhi Zou dimostrarono nel 1999 che è maggiore di 225 = 33554432.

 

Nel 2004 P.Z. Yuan dimostrò che:

  • esistono infiniti numeri che non si possono rappresentare come pr + 2n + 2m con p primo;

  • esistono infiniti numeri che non si possono rappresentare come pr + c(2n + 2m) con p primo.

Sono quindi necessarie almeno 3 potenze di 2.

 

Nel 2008 Y.-G. Chen, R. Feng e N. Templier dimostrarono che, chiamando w(n) che il numero di interi positivi minori di n non rappresentabili come somma di una potenza di un primo e due potenze di 2:

  • se i numeri di Fermat composti sono in numero infinito, Limite che coinvolge w(n);

  • se i primi di Fermat sono in numero finito, Limite che coinvolge w(n).

 

Nel 2009 Hao Pan dimostro che gli interi positivi minori di n non rappresentabili come somma di una potenza di un numero primo e due potenze di 2 sono almeno Limite inferiore per il numero di interi positivi minori di n non rappresentabili come somma di una potenza di un numero primo e due potenze di 2, per una costante C.

Bibliografia

  • Cohen, F.;  Selfridge, J.L.;  "Not every number is the sum or difference of two prime powers" in Mathematical Computation, n. 29, 1975, pag. 79 – 81.
  • Sun, Zhi-Wei;  "On integers not of the form ± pa ± qb" in Proc. Amer. Math. Soc., vol. 128, n. 4, 2000, pag. 997 – 1002.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.