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de Moivre (numeri di)

Algebra  Geometria 

Si dicono numeri di de Moivre di ordine n le n soluzioni dell’equazione xn = 1, ovvero le radici n-esime dell’unità, uguali a Formula per i numeri di de Moivre, per k da 0 a n – 1.

Sono tutti complessi tranne ζ0,n = 1 e Formula per i numeri di de Moivre uguali a -1, se n è pari.

 

Una radice n-esima dell’unità ζk, n si dice primitiva se n è il minimo esponente maggiore di zero per il quale Formula per le radici primitive, che equivale a dire che k e n sono primi tra loro.

 

Nel piano complesso corrispondono (per n > 2) alle coordinate dei vertici di un poligono regolare a n lati inscritto in una circonferenza di raggio unitario con centro nell’origine.

La figura mostra il poligono avente per vertici coordinate date dai numeri di de Moivre di ordine 6.

 

Esagono regolare nel piano complesso

 

 

Sono numeri algebrici di grado φ(n).

 

Sono costruibili, nel senso che è possibile tracciare il poligono con riga e compasso (quindi sono esprimibili con una combinazione finita delle quattro operazioni ed estrazioni di radici quadrate), se e solo se n è una potenza di 2, incluso 1, moltiplicata per primi di Mersenne distinti.

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