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Ciclotomici (polinomi)

Algebra  Polinomi 

I polinomi ciclotomici sono polinomi che hanno per radici i numeri di de Moivre; più precisamente, sono polinomi della forma Formula per i polinomi ciclotomici, dove il prodotto va calcolato sugli interi positivi k primi rispetto a n.

Possono essere espressi come Formula per i polinomi ciclotomici, limitando il prodotto alle sole radici primitive dell’unità o come Formula per i polinomi ciclotomici, dove il prodotto va calcolato sui divisori di n, per n > 1.

 

Sono irriducibili e di grado φ(n) e, per n > 1, sono palindromi, ossia il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a quello del termine di grado 0, il coefficiente del termine di grado immediatamente inferiore al massimo è uguale a quello del termine di grado 1 e così via.

 

In particolare, se p è un primo dispari:

  • Formula per i polinomi ciclotomici;

  • Formula per i polinomi ciclotomici;

  • Formula per i polinomi ciclotomici;

  • Formula per i polinomi ciclotomici;

  • Formula per i polinomi ciclotomici;

  • se n non è multiplo di p, Formula per i polinomi ciclotomici;

  • se n è multiplo di p, Φnp(x) = Φn(xp).

 

Se n = 2kFormula per i polinomi ciclotomici e Formula che coinvolge polinomi ciclotomici.

 

Se n è dispari, Φ2n(x) = Φn(–x).

 

Se q è il prodotto dei primi che dividono n, ossia q = Π(n), e n è dispari, Formula per i polinomi ciclotomici.

 

Se n non è multiplo di quadrati, Formula per i polinomi ciclotomici, dove i coefficienti an, k possono essere calcolati tramite la ricorrenza an, 0 = 1, Formula per i polinomi ciclotomici.

 

I polinomi ciclotomici permettono di scomporre xn – 1: Formula per la scomposizione di una differenza di potenze tramite polinomi ciclotomici e in particolare, se p è primo:

  • xp – 1 = Φ1(xp(x);

  • x2p – 1 = Φ1(x2(xp(x2p(x);

  • x4p – 1 = Φ1(x2(x4(xp(x2p(x4p(x).

Inoltre Formula per esprimere una somma di potenze come rapporto tra prodotti di polinomi ciclotomici.

 

I reciproci di alcuni polinomi ciclotomici hanno uno sviluppo in serie relativamente semplice:

  • Formula per l'espansione in serie del reciproco di un polinomio ciclotomico, dove Formula per i coefficienti dell'espansione in serie;

  • Formula per l'espansione in serie del reciproco di un polinomio ciclotomico, dove i coefficienti possono essere calcolati con la ricorrenza c0 = 1, c1 = 1, cn = cn – 1cn – 2.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi ciclotomici.

 

Grafico dei primi polinomi ciclotomici

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi ciclotomici.

n

Фn(x)

1

x – 1

2

x + 1

3

x2 + x + 1

4

x2 + 1

5

x4 + x3 + x2 + x + 1

6

x2x + 1

7

x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

8

x4 + 1

9

x6 + x3 + 1

10

x4x3 + x2x + 1

11

x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

12

x4x2 + 1

13

x12 + x11 + x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

14

x6x5 + x4x3 + x2x + 1

15

x8x7 + x5x4 + x3x + 1

16

x8 + 1

17

x16 + x15 + x14 + x13 + x12 + x11 + x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

18

x6x3 + 1

19

x18 + x17 +x16 + x15 + x14 + x13 + x12 + x11 + x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

20

x8x6 + x4x2 + 1

 

Nel 1883 Migotti notò che i coefficienti di Φn(x) sono sempre +1, 0 o –1 fino a n = 105, quando fa la sua comparsa 2, come coefficiente dei termini di settimo e quarantunesimo grado. Lo stesso Migotti dimostrò nel 1883 che il polinomio ciclotomico Φn(x) ha solo coefficienti 1, 0 e –1 se n è il prodotto di due primi dispari, e infatti 105 è il minimo intero con tre fattori primi dispari distinti.

Non è però vero l’inverso: se n è il prodotto di 3 primi distinti, Φn(x) non ha necessariamente coefficienti maggiori di 1 in valore assoluto. Per esempio, 651 = 3 • 7 • 31 e i coefficienti di Φ651(x) sono 1, 0 e –1.

 

Nel 1931 I. Schur dimostrò che al crescere di n i coefficienti aumentano senza alcun limite, mentre M. Endo nel 1974 dimostrò che solo i coefficienti dal settimo grado in poi possono essere maggiori di 1 in valore assoluto.

 

Bateman dimostrò che i coefficienti di Φn(x) sono minori di Limite superiore per i coefficienti dei polinomi ciclotomici, mentre Vaughan dimostrò che per infiniti valori di n il massimo coefficiente è maggiore di Limite inferiore per il massimo coefficiente dei polinomi ciclotomici.

Sebbene lentamente, il massimo coefficiente di cresce quindi senza limite.

 

La tabella seguente riporta i minimi valori di n per i quali contenga i coefficienti sino a 20.

Coefficiente

n

1

0

2

105

3

385

4

1365

5

1785

6

2805

7

3135

8, 9

6545

10 .. 14

10465

15 .. 20

11305

 

Il risultante di due polinomi Formula per la definizione di P(x)Formula per la definizione di Q(x) è definito come Formula per il risultante di due polinomi, dove i vari αn e βn sono le radici rispettivamente di P e Q.

Il risultante si può anche ottenere come determinante della matrice di Sylvester (n + m) × (n + m) dei due polinomi, ossia Matrice di Sylvester.

 

Il risultante di Фn(x) e Фm(x) è 1 se m e n sono primi tra loro.

Apostol dimostrò nel 1975 che Risultante di due polinomi ciclotomici, dove δ = MCD(m, d) e a e b sono numeri complessi diversi da zero. Se m e n sono primi, la formula si riduce a Risultante di due polinomi ciclotomici

 

Alla voce interi ciclotomici si trovamo tabelle di valori dei polinomi per valori interi della variabile.

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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