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Lucas (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Lucas sono definiti ricorsivamente come: L0(x) = 2, L1(x) = x, Ln(x) = xLn – 1(x) + Ln – 2(x).

Sono polinomi di grado n a coefficienti interi positivi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 per n > 0.

 

Possono essere considerati una generalizzazione dei numeri di Lucas, ai quali sono legati dalla relazione Ln(1) = Ln.

Possono essere anche espressi tramite sequenze di Lucas (v. numeri di Lucas) come Ln(x) = V(x, –1) ed estesi a indici negativi tramite la formula Ln(x) = (–1)n – 1Ln(x).

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi di Lucas:

Ln(0) = 1 + (–1)n;

Ln(x) = xFn(x) + 2Fn – 1(x);

Ln(x) = Fn + 1(x) + Fn – 1(x);

Formula per il calcolo dei polinomi di Lucas;

Formula per il calcolo dei polinomi di Lucas;

Formula per il calcolo dei polinomi di Lucas

Ln + m(x) = Lm(x)Ln(x) – (–1)nLmn(x);

Ln(2m – 1)(x) = Ln(L2m – 1(x));

Ln(x)2 = (x2 + 4)Fn(x)2 + (–1)n4;

Ln(x)2 = Ln + 1(x)Ln – 1(x) + (–1)n(x2 + 4) (Koshy, 1999);

Formula per la derivata dei polinomi di Lucas.

 

Alcune proprietà dei polinomi di Lucas:

Ln(x) divide Lm(x) se e solo se m è un multiplo dispari di n;

se p è primoPolinomio irriducibile è irriducibile;

Formula per il calcolo dei polinomi di Lucas, ovvero gli zeri di Ln(x) sono Zeri dei polinomi di Lucas, per k da 1 a n – 1; se n è primo, questi sono la parte immaginaria degli zeri dell’n-esimo polinomio ciclotomico, tranne i casi in cui Coseno di (2k + 1)π diviso 2n uguale a zero.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Lucas, ovvero Funzione generatrice dei polinomi di Lucas; inoltre Funzione generatrice dei polinomi di Lucas e Funzione generatrice dei polinomi di Lucas.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Lucas.

 

Grafico dei primi polinomi di Lucas

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Lucas.

n

Ln(x)

0

2

1

x

2

x2 + 2

3

x3 + 3x

4

x4 + 4x2 + 2

5

x5 + 5x3 + 5x

6

x6 + 6x4 + 9x2 + 2

7

x7 + 7x5 + 14x3 + 7x

8

x8 + 8x6 + 20x4 + 16x2 + 2

9

x9 + 9x7 + 27x5 + 30x3 + 9x

10

x10 + 10x8 + 35x6 + 50x4 + 25x2 + 2

11

x11 + 11x9 + 44x7 + 77x5 + 55x3 + 11x

12

x12 + 12x10 + 54x8 + 112x6 + 105x4 + 36x2 + 2

13

x13 + 13x11 + 65x9 + 156x7 + 182x5 + 91x3 + 13x

14

x14 + 14x12 + 77x10 + 210x8 + 294x6 + 196x4 + 49x2 + 2

15

x15 + 15x13 + 90x11 + 275x9 + 450x7 + 378x5 + 140x3 + 15x

16

x16 + 16x14 + 104x12 + 352x10 + 660x8 + 672x6 + 336x4 + 64x2 + 2

17

x17 + 17x15 + 119x13 + 442x11 + 935x9 + 1122x7 + 714x5 + 204x3 + 17x

18

x18 + 18x16 + 135x14 + 546x12 + 1287x10 + 1782x8 + 1386x6 + 540x4 + 81x2 + 2

19

x19 + 19x17 + 152x15 + 665x13 + 1729x11 + 2717x9 + 2508x7 + 1254x5 + 285x3 + 19x

20

x20 + 20x18 + 170x16 + 800x14 + 2275x12 + 4004x10 + 4290x8 + 2640x6 + 825x4 + 100x2 + 2

 

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