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Fibonacci (polinomi di)

Matematica combinatoria  Polinomi 

I polinomi di Fibonacci sono definiti ricorsivamente come: F0(x) = 0, F1(x) = 1, Fn(x) = xFn – 1(x) + Fn – 2(x).

Sono polinomi di grado n – 1 a coefficienti interi positivi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1.

 

Possono essere considerati una generalizzazione dei numeri di Fibonacci, ai quali sono legati dalla relazione Fn(1) = Fn.

Possono essere anche espressi tramite sequenze di Lucas come Fn(x) = U(x, –1) ed estesi a indici negativi tramite la formula Fn(x) = (–1)n – 1Fn(x).

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi di Fibonacci, nelle quali Ln(x) è un polinomio di Lucas:

Fn(x) = Lm(x)Fnm(x) + (–1)nFm – 2m(x), per n ≥ 2m;

Formula per il calcolo dei polinomi di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei polinomi di Fibonacci;

Formula per il calcolo dei polinomi di Fibonacci;

Fn + m(x) = Fm + 1(x)Fn(x) + Fm(x)Fn – 1(x);

Fm + n(x) = Fm(x)Ln(x) – (–1)nFmn(x);

Formula per il calcolo dei polinomi di Fibonacci;

Fmn(x) = (–1)n(Fm(x)Fn + 1(x) – Fm + 1(x)Fn(x));

Fn + 1(x)Fn – 1(x) – Fn(x)2 = (–1)n;

F2n(x) = Fn(x)Ln(x);

F2n + 1(x) = Fn(x)2Fn + 1(x)2;

Formula per il calcolo dei polinomi di Fibonacci;

Fn + 4(x) + Fn + 4(y) – (x + y)(Fn + 3(x) + Fn + 3(y)) + (xy – 2)(Fn + 2(x) + Fn + 2(y)) + (x + y)(Fn + 1(x) + Fn + 1(y)) + Fn(x) + Fn(y) = 0 (Swamy, 1966);

Fn + 4(x)Fn + 4(y) – xyFn + 3(x)Fn + 3(y) – (x2 + y2 + 2)Fn + 2(x)Fn + 2(y) – xyFn + 1(x)Fn + 1(y) + Fn(x)Fn(y) = 0 (Swamy, 1966);

Fnm(x) = Fm(x)Fn(Lm(x)) per m dispari;

Formula per il calcolo dei polinomi di Fibonacci;

Formula per la somma di polinomi di Fibonacci;

Formula che coinvolge polinomi di Fibonacci;

Formula per la derivata dei polinomi di Fibonacci;

Formula per la derivata dei polinomi di Fibonacci.

 

Dalla relazione Formula che coinvolge i polinomi di Fibonacci, dove Un(x) è un polinomio di Chebyshev di seconda specie, si ricavano vari casi particolari, come: Formula che coinvolge i polinomi di Fibonacci, Formula che coinvolge i polinomi di Fibonacci, Formula che coinvolge i polinomi di Fibonacci, Formula che coinvolge i polinomi di Fibonacci.

 

Alcune proprietà dei polinomi di Fibonacci:

Fn(x) divide Fm(x) se e solo se n divide m;

Fn(x) è irriducibile se e solo se n è primo;

Fn(x) e Fn + 1(x) non hanno fattori comuni;

Fn(2) = Pn, dove Pn è un numero di Pell;

Formula per il calcolo dei polinomi di Fibonacci, ovvero gli zeri di Fn(x) sono Formula per gli zeri dei polinomi di Fibonacci, per k da 1 a n – 1; se n è primo, questi sono 2i volte la parte reale degli zeri dell’n-esimo polinomio ciclotomico;

se Valore della matrice Q, Valore delle potenze della matrice Q, dove I è la matrice identità.

 

Il coefficiente F(n, k) del termine di grado k in Fn(x), ottenuto scrivendo il polinomio nella forma Formula per i polinomi di Fibonacci, ha un’interessante interpretazione combinatoria: è il numero di modi per scrivere n – 1 come somma ordinata di k addendi uguali a 1 e Numero di addendi uguali a 2 uguali a 2. Per esempio, F(6, 3) = 4 e 5 può essere scritto come somma di 3 addendi uguali a 1 e 1 uguale a 2 in 4 modi diversi: 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1 e 2 + 1 + 1 + 1.

Ne segue che Formula per i coefficienti dei polinomi di Fibonacci, se n e k hanno parità opposte e zero altrimenti.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Fibonacci, ovvero Funzione generatrice dei polinomi di Fibonacci; inoltre Funzione generatrice dei polinomi di Fibonacci (D. Zeitlin, 1964), Funzione generatrice dei polinomi di Fibonacci e Funzione generatrice dei polinomi di Fibonacci.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Fibonacci.

 

Grafico dei primi polinomi di Fibonacci

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi.

n

Fn(x)

0

0

1

1

2

x

3

x2 + 1

4

x3 + 2x

5

x4 + 3x2 + 1

6

x5 + 4x3 + 3x

7

x6 + 5x4 + 6x2 + 1

8

x7 + 6x5 + 10x3 + 4x

9

x8 + 7x6 + 15x4 + 10x2 + 1

10

x9 + 8x7 + 21x5 + 20x3 + 5x

11

x10 + 9x8 + 28x6 + 35x4 + 15x2 + 1

12

x11 + 10x9 + 36x7 + 56x5 + 35x3 + 6x

13

x12 + 11x10 + 45x8 + 84x6 + 70x4 + 21x2 + 1

14

x13 + 12x11 + 55x9 + 120x7 + 126x5 + 56x3 + 7x

15

x14 + 13x12 + 66x10 + 165x8 + 210x6 + 126x4 + 28x2 + 1

16

x15 + 14x13 + 78x11 + 220x9 + 330x7 + 252x5 + 84x3 + 8x

17

x16 + 15x14 + 91x12 + 286x10 + 495x8 + 462x6 + 210x4 + 36x2 + 1

18

x17 + 16x15 + 105x13 + 364x11 + 715x9 + 792x7 + 462x5 + 120x3 + 9x

19

x18 + 17x16 + 120x14 + 455x12 + 1001x10 + 1287x8 + 924x6 + 330x4 + 45x2 + 1

20

x19 + 18x17 + 136x15 + 560x13 + 1365x11 + 2002x9 + 1716x7 + 792x5 + 165x3 + 10x

 

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