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Densità dei numeri abbondanti (costante della)

Teoria dei numeri 

Per ogni numero reale positivo si può definire una funzione Formula per la funzione densità dei numeri abbondanti, che rappresenta la densità dei numeri per i quali la funzione σ(n) è almeno xn.

Tra il 1932 e il 1934 F. Beherend, H. Davenport e S. Chowla dimostrarono indipendentemente che la funzione esiste ed è continua per ogni valore di x, mentre in seguito fu dimostrato che è derivabile quasi ovunque (tranne al massimo in un insieme di punti di misura di Lebesgue nulla) e che vale Formula che coinvolge la densità dei numeri abbondanti, per qualsiasi numero complesso s che abbia parte reale maggiore di 1.

 

Dato che σ(n) è almeno n + 1 per n > 1, la funzione vale 1 per x ≤ 1 e tende a zero al crescere di x. Un valore di particolare interesse è D(2), vale a dire la densità dei numeri abbondanti, dato che quelli perfetti, per i quali σ(n) è esattamente 2, hanno densità nulla.

Tale valore è detto “costante della densità dei numeri abbondanti” ed è molto difficile da calcolare; la miglior stima nota è di M Deléglise (1998): |D(2) – 0.2477| < 0.0003.

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