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Pluriunitari (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Primi pluriunitari

In qualsiasi base, i numeri scritti con un’unica cifra ripetuta possono essere primi se solo se la cifra è 1 e il numero di cifre è un numero primo. Questi primi sono anche banalmente primi circolari e primi permutabili.

 

Le ricerche di primi pluriunitari iniziarono naturalmente dalla base 10. Oscar Hoppe dimostrò nel 1916 che (1)19 è primo e Lehmer e Kraitchik indipendentemente dimostrarono nel 1923 che (1)23 è primo. Ulteriori progressi dovettero attendere l’arrivo dei calcolatori elettronici: (1)317 fu trovato come primo probabile nel 1966 e dimostrato primo 11 anni dopo; (1)1037 fu dimostrato primo nel 1986. Nel 1999 Harvey Dubner trovò (1)49081, che fu dimostrato primo nel 2015. In seguito furono trovati anche i primi probabili (1)86453, (1)109297 e (1)270343.

In seguito vennero esaminate altre basi. Harvey Dubner pubblicò nel 1993 una tabella con primi del genere per basi fino a 99. Molti altri ricercatori in seguito estesero la tabella.

 

Tutti i primi pluriunitari in una base sono primi unici nella stessa base.

 

Ogni primo p maggiore di 2 è pluriunitario in base p – 1.

 

Se la base b è una potenza mk, si può avere al massimo un unico primo pluriunitario con numero di cifre uguale a k, quindi uguale a Forma di un primo pluriunitario in base b = m^k. Si ritiene i primi pluriunitari siano infiniti in quasi tutte, se non addirittura tutte, le altre basi, ma molto rari.

 

Sono stati trovati primi pluriunitari in quasi tutte le basi esaminate, escluse le potenze. Tuttavia non è dimostrato che debbano sempre esistere: il minimo intero per il quale non se ne conoscano è 152.

 

Gli unici primi pluriunitari in più di una base sono i già citati 31 e 8191.

111b e 1111111b sono primi in base 3, 5 e 6.

 

Gli unici primi noti formati da n cifre 1 in base n si ottengono per n = 2, 3, 19 e 31.

 

Sono anche state esaminate basi negative: in base –b una sequenza di n cifre 1 rappresenta il numero Forma di un primo pluriunitario in base –b, che può essere primo solo se n è un primo dispari; is hanno in questo caso i primi di Wagstaff e i primi di Wagstaff generalizzati.

Bibliografia

  • Andreescu, Titu;  Andrica, Dorin;  Feng, Zuming;  104 Number Theory Problems, Boston, Birkäuser, 2007 -

    Raccolta di problemi utilizzati per agli allenamenti della squadra statunitense per le Olimpiadi di Matematica.

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.

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