Pluriunitari (numeri)

Si chiamano “pluriunitari” i numeri naturali scritti con una sequenza di 1, chiamati repunit in inglese; sono quindi un caso particolare di numeri brasiliani.

 

Se b è la base della rappresentazione, i numeri pluriunitari sono esprimibili come , cioè come somme di potenze consecutive della stessa base, a partire da 1. Per b = 2 abbiamo i numeri di Mersenne, i numeri di Mersenne generalizzati si ottengono sostituendo la base 2 con una base intera b maggiore di 1, quindi hanno la forma bⁿ – 1. I numeri pluriunitari hanno invece la forma . Nel caso b = 2 le due definizioni sono equivalenti, ma differiscono per altri valori di b; la scelta si spiega col fatto che le indagini su questi numeri si concentrano soprattutto nella ricerca di primi e pseudoprimi e i numeri della forma bⁿ – 1 sono multipli di b – 1, quindi poco interessanti.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri pluriunitari per b da 2 a 20 e n fino a 10

b \ n	1	2	3	4	5	6
2	1	3	7	15	31	63
3	1	4	13	40	121	364
4	1	5	21	85	341	1365
5	1	6	31	156	781	3906
6	1	7	43	259	1555	9331
7	1	8	57	400	2801	19608
8	1	9	73	585	4681	37449
9	1	10	91	820	7381	66430
10	1	11	111	1111	11111	111111
11	1	12	133	1464	16105	177156
12	1	13	157	1885	22621	271453
13	1	14	183	2380	30941	402234
14	1	15	211	2955	41371	579195
15	1	16	241	3616	54241	813616
16	1	17	273	4369	69905	1118481
17	1	18	307	5220	88741	1508598
18	1	19	343	6175	111151	2000719
19	1	20	381	7240	137561	2613660
20	1	21	421	8421	168421	3368421

b \ n	7	8	9	10
2	127	255	511	1023
3	1093	3280	9841	29524
4	5461	21845	87381	349525
5	19531	97656	488281	2441406
6	55987	335923	2015539	12093235
7	137257	960800	6725601	47079208
8	299593	2396745	19173961	153391689
9	597871	5380840	48427561	435848050
10	1111111	11111111	111111111	1111111111
11	1948717	21435888	235794769	2593742460
12	3257437	39089245	469070941	5628851293
13	5229043	67977560	883708281	11488207654
14	8108731	113522235	1589311291	22250358075
15	12204241	183063616	2745954241	41189313616
16	17895697	286331153	4581298449	73300775185
17	25646167	435984840	7411742281	125999618778
18	36012943	648232975	11668193551	210027483919
19	49659541	943531280	17927094321	340614792100
20	67368421	1347368421	26947368421	538947368421

 

Un numero pluriunitario può essere primo solo se n è un primo che non divide b – 1; in tal caso se non è primo è overpseudoprimo in base b, quindi superpseudoprimo in base b e pseudoprimo forte di Fermat in base b.

 

In qualsiasi base tutti i numeri pluriunitari sono numeri di Zuckerman.

 

Se b e n sono primi tra loro, esiste un multiplo di n che è pluriunitario in base b. In particolare quindi qualsiasi intero non multiplo di 2 o 5 ha un multiplo pluriunitario in base 10.

 

In qualsiasi base qualsiasi intero ha un multiplo costituito da una sequenza a piacere di cifre, ripetuta più volte, seguita da zeri, come 134134134000 (Crelle 1829); in qualsiasi base esiste quindi un multiplo di qualsiasi intero che si scrive con una sequenza di 1, seguita da una sequenza di 0.

 

In qualsiasi base se x è pluriunitario, (b – 1)x² + 2x è pluriunitario.

 

Se non si pongono limitazioni, tutti i numeri sono pluriunitari, perché n si rappresenta come 11 in base n – 1; ne segue che i numeri pluriunitari di 2 o più cifre in più basi sono infiniti, perché un qualsiasi numero n, pluriunitario una base qualsiasi, è anche pluriuinitario in base n – 1.

Se però si aggiunge il requisito che il numero sia rappresentato con almeno 3 cifre, le cose cambiano: gli unici interi noti pluriunitari in più basi con almeno 3 cifre sono 31 = 11111₂ = 111₅, pluriunitario in base 2 e 5, e 8191 = 1111111111111₂ = 111₉₀, pluriunitario in base 2 e 90, che sono anche primi. Secondo la congettura di Goormaghtigh non ve ne sono altri.

E’ stato dimostrato che per ogni coppia di basi esistono al massimo due interi pluriunitari in entrambe.

 

La somma dei reciproci dei numeri pluriunitari in base b è ed è finita in qualsiasi base.

La tabella seguente riporta tali somme per le basi fino a 20.

Base	Somma dei reciproci
2	1.6066951524
3	1.3643070052
4	1.2632930581
5	1.2069354144
6	1.1707456507
7	1.1454603745
8	1.1267632902
9	1.1123609413
10	1.1009181908
11	1.0916034922
12	1.0838712331
13	1.0773482332
14	1.0717704435
15	1.0669456794
16	1.0627306772
17	1.0590164285
18	1.0557185002
19	1.0527704668
20	1.0501193453

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della somma dei reciproci in base 10.

 

L’interesse nei numeri pluriunitari è iniziato con la caccia ai primi pluriunitari, poi sono stati cercati numeri pluriunitari con altre caratteristiche.

 

Trygve Nagell (Oslo, 13/7/1895 – Uppsala, Svezia, 24/1/1988) dimostrò nel 1921 che l’equazione ha solo due soluzioni intere: n = 20, b = 7, r = 3 e n = 11, b = 3, r = 4.

Yann Bugeaud e Maurice Mignotte avanzarono nel 2002 la congettura che l’equazione  abbia solo tre soluzioni intere: le due riportate sopra e n = 7, m = 3, b = 18, r = 2.

T.N Shorey dimostrò nel 1999 che se la congettura “abc” è vera, l’equazione ha un numero finito di soluzioni.

Per ogni primo p, in qualsiasi base il numero di potenze p-esime pluriunitarie è al massimo p – 1, non contando 1, potenza p-esima per ogni p e in ogni base (Shorey e Tijdeman, 1976). Di conseguenza in qualsiasi base il numero di potenze pluriunitarie è finito.

Quindi tra i numeri pluriunitari in qualsiasi base, ma scritti con almeno due cifre:

• solo 1111₇ = 400 e 11111₃ = 121 sono quadrati;

• molto probabilmente solo 111₁₈ = 343 è un cubo;

• per ogni esponente fissato le potenze sono in numero finito;

• molto probabilmente le potenze, con qualsiasi esponente, sono in numero finito.

 

Oblàth dimostrò nel 1956 che in base 10 nessun numero formato da cifre tutte uguali è una potenza, a parte i casi banali di potenze di una sola cifra, 1, 4, 8 e 9.

 

Altri risultati di questo genere sono riportati tra le somme di potenze consecutive di uno stesso numero (v. anche potenze).

 

Per quanto riguarda i numeri triangolari, esistono alcune famiglie note:

• in qualsiasi base 1 è banalmente triangolare;

• tutti i numeri triangolari T_n sono pluriunitari di 2 cifre in base T_n – 1;

• tutti i numeri pluriunitari in base 9 sono triangolari, perché un numero pluriunitario di n cifre in base 9 è (per esempio, per n = 4 abbiamo 1111₉ = 820 = T₄₀);

• per qualsiasi intero n maggiore di 1, se , 111_b = T_m è triangolare, con  (per esempio, per n = 3 abbiamo 111₅₅ = 3081 = T₇₈);

• per qualsiasi intero n maggiore di 1, se , 111_b = T_m è triangolare, con  (per esempio, per n = 2 abbiamo 111₂₆ = 703 = T₃₇).

A parte questi casi, i numeri pluriunitari triangolari sono rarissimi e potrebbero essere in numero finito; tra le basi fino a 1000 e i numeri pluriunitari fino a 1000 cifre si conoscono solo (M. Fiorentini, 2014):

• in base 2 i numeri 1111₂ = 15 = T₅ e 111111111111₂ = 4095 = T₉₀;

• in base 23 il numero 1111₂₃ = 12720 = T₁₅₉.

 

José María Grau Ribas e Florian Luca dimostrarono nel 2011 che nessun numero pluriunitario in basi da 2 a 1000 è un numero di Lehmer (II).

 

Un’area di ricerca piuttosto attiva è la scomposizione dei numeri pluriunitari in fattori primi; i risultati teorici sono molto pochi e la ricerca è condotta grande a un massiccio impiego di calcolatori elettronici (v. anche numeri di Cunningham).

 

In qualsiasi base un numero formato da n cifre 1 ha un fattore primo che divide n o è della forma kn + 1 (W.M. Snyder, 1982).

 

In qualsiasi base se p è primo, i fattori primi del numero formato da p cifre 1 hanno hanno la forma 2kp + 1.

 

In base 10 il minimo numero pluriunitario multiplo di un quadrato è 111111111 = 3² • 37 • 333667.

 

In generale in base b tutti i pluriunitari con numero delle cifre multiplo di (b – 1)² sono multipli di (b – 1)².

 

Una proprietà notevole del numero pluriunitario , formato da 38 cifre 1, è che tutti i suoi fattori primi, 11,  e  sono primi unici. Perché un numero della forma , con p primo, abbia questa proprietà, è necessario che sia , sia  siano primi unici ed è estremamente improbabile che esista un altro primo con questa proprietà, oltre a 19.

 

Sono anche stati esaminati i numeri pluriunitari in rappresentazioni meno usuali.

 

In base fattoriale un numero pluriunitario è la somma di fattoriali consecutivi a partire da 1; nessuno è primo (a partire da 11_fattoriale = 3 sono tutti multipli di 3), solo 1 e 111_fattoriale = 9 sono quadrati, nessuno, a parte 1, è una potenza con esponente superiore a 2.

 

Utilizzando la rappresentazione di Fibonacci (v. numeri di Fibonacci), un numero pluriunitario di n cifre è la somma dei primi n numeri di Fibonacci, quindi è F_{n + 2} – 1; gli unici valori di n fino a 10000 che producono un numero primo sono n = 2 e 4; solo per n = 3 si ha un quadrato e per nessun valore di n si hanno cubi.

Tabelle numeriche

I numeri pluriunitari per b da 2 a 1000 e n fino a 20 (2.4 Mbyte),
Scomposizione in fattori primi dei numeri pluriunitari in base 10 con fino a 100 cifre,
Alcuni primi pluriunitari in base b, per b fino a 100 e alcune basi superiori.

Vedi anche

Numeri brasiliani, Numeri di Cunningham, Numeri di Demlo, Numeri di Mersenne, Numeri ingannevoli.

Bibliografia

• Andreescu, Titu;  Andrica, Dorin;  Feng, Zuming;  104 Number Theory Problems, Boston, Birkäuser, 2007 -

  Raccolta di problemi utilizzati per agli allenamenti della squadra statunitense per le Olimpiadi di Matematica.

• Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

  Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

• Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.

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