Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pluriunitari (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Primi pluriunitari

Si chiamano “pluriunitari” i numeri naturali scritti con una sequenza di 1, chiamati repunit in inglese; sono quindi un caso particolare di numeri brasiliani.

 

Se b è la base della rappresentazione, i numeri pluriunitari sono esprimibili come Formula generale per i numeri pluriunitari, cioè come somme di potenze consecutive della stessa base, a partire da 1. Per b = 2 abbiamo i numeri di Mersenne, per b > 2 i numeri di Mersenne generalizzati; questi ultimi sono una variante dei numeri di Mersenne, ottenuta sostituendo la base 2 con una base intera b maggiore di 1. Non si tratta però dei numeri della forma bn – 1, bensì di quelli della forma (b^n – 1) / (b – 1). Nel caso b = 2 le due definizioni sono equivalenti, ma differiscono per altri valori di b; la scelta si spiega col fatto che le indagini su questi numeri si concentrano soprattutto nella ricerca di primi e pseudoprimi e i numeri della forma bn – 1 sono multipli di b – 1 e quindi poco interessanti.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri pluriunitari per b da 2 a 20 e n fino a 10

b \ n

1

2

3

4

5

6

2

1

3

7

15

31

63

3

1

4

13

40

121

364

4

1

5

21

85

341

1365

5

1

6

31

156

781

3906

6

1

7

43

259

1555

9331

7

1

8

57

400

2801

19608

8

1

9

73

585

4681

37449

9

1

10

91

820

7381

66430

10

1

11

111

1111

11111

111111

11

1

12

133

1464

16105

177156

12

1

13

157

1885

22621

271453

13

1

14

183

2380

30941

402234

14

1

15

211

2955

41371

579195

15

1

16

241

3616

54241

813616

16

1

17

273

4369

69905

1118481

17

1

18

307

5220

88741

1508598

18

1

19

343

6175

111151

2000719

19

1

20

381

7240

137561

2613660

20

1

21

421

8421

168421

3368421

b \ n

7

8

9

10

2

127

255

511

1023

3

1093

3280

9841

29524

4

5461

21845

87381

349525

5

19531

97656

488281

2441406

6

55987

335923

2015539

12093235

7

137257

960800

6725601

47079208

8

299593

2396745

19173961

153391689

9

597871

5380840

48427561

435848050

10

1111111

11111111

111111111

1111111111

11

1948717

21435888

235794769

2593742460

12

3257437

39089245

469070941

5628851293

13

5229043

67977560

883708281

11488207654

14

8108731

113522235

1589311291

22250358075

15

12204241

183063616

2745954241

41189313616

16

17895697

286331153

4581298449

73300775185

17

25646167

435984840

7411742281

125999618778

18

36012943

648232975

11668193551

210027483919

19

49659541

943531280

17927094321

340614792100

20

67368421

1347368421

26947368421

538947368421

 

Un numero pluriunitario può essere primo solo se n è un primo che non divide b – 1; in tal caso se non è primo è overpseudoprimo in base b, quindi superpseudoprimo in base bpseudoprimo forte in base b.

 

In qualsiasi base tutti i numeri pluriunitari sono numeri di Zuckerman.

 

Se b e n sono primi tra loro, esiste un multiplo di n che è pluriunitario in base b. In particolare quindi qualsiasi intero non multiplo di 2 o 5 ha un multiplo pluriunitario in base 10.

 

In qualsiasi base qualsiasi intero ha un multiplo costituito da una sequenza a piacere di cifre, ripetuta più volte, seguita da zeri, come 134134134000 (Crelle 1829); in qualsiasi base esiste quindi un multiplo di qualsiasi intero che si scrive con una sequenza di 1, seguita da una sequenza di 0.

 

In qualsiasi base se x è pluriunitario, (b – 1)x2 + 2x è pluriunitario.

 

Se non si pongono limitazioni, tutti i numeri sono pluriunitari, perché n si rappresenta come 11 in base n – 1; ne segue che i numeri pluriunitari di 2 o più cifre in più basi sono infiniti, perché un qualsiasi numero n, pluriunitario una base qualsiasi, è anche pluriuinitario in base n – 1.

Se però si aggiunge il requisito che il numero sia rappresentato con almeno 3 cifre, le cose cambiano: gli unici interi noti pluriunitari in più basi con almeno 3 cifre sono 31 = 111112 = 1115, pluriunitario in base 2 e 5, e 8191 = 11111111111112 = 11190, pluriunitario in base 2 e 90, che sono anche primi. Secondo la congettura di Goormaghtigh non ve ne sono altri.

E’ stato dimostrato che per ogni coppia di basi esistono al massimo due interi pluriunitari in entrambe.

 

La somma dei reciproci dei numeri pluriunitari in base b è Formula per la somma dei reciproci dei numeri pluriunitari in base bed è finita in qualsiasi base.

La tabella seguente riporta tali somme per le basi fino a 20.

Base

Somma dei reciproci

2

1.6066951524

3

1.3643070052

4

1.2632930581

5

1.2069354144

6

1.1707456507

7

1.1454603745

8

1.1267632902

9

1.1123609413

10

1.1009181908

11

1.0916034922

12

1.0838712331

13

1.0773482332

14

1.0717704435

15

1.0669456794

16

1.0627306772

17

1.0590164285

18

1.0557185002

19

1.0527704668

20

1.0501193453

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della somma dei reciproci in base 10.

 

L’interesse nei numeri pluriunitari è iniziato con la caccia ai primi pluriunitari, poi sono stati cercati numeri pluriunitari con altre caratteristiche.

 

Trygve Nagell (Oslo, 13/7/1895 – Uppsala, Svezia, 24/1/1988) dimostrò nel 1921 che l’equazione Equazione soddisfatta da un quadrato pluriunitario ha solo due soluzioni intere: n = 20, b = 7, r = 3 e n = 11, b = 3, r = 4.

Yann Bugeaud e Maurice Mignotte avanzarono nel 2002 la congettura che l’equazione Equazione soddisfatta da una potenza pluriunitaria abbia solo tre soluzioni intere: le due riportate sopra e n = 7, m = 3, b = 18, r = 2.

T.N Shorey dimostrò nel 1999 che se la congettura “abc” è vera, l’equazione ha un numero finito di soluzioni.

Per ogni primo p, in qualsiasi base il numero di potenze p-esime pluriunitarie è al massimo p – 1, non contando 1, potenza p-esima per ogni p e in ogni base (Shorey e Tijdeman, 1976). Di conseguenza in qualsiasi base il numero di potenze pluriunitarie è finito.

Quindi tra i numeri pluriunitari in qualsiasi base, ma scritti con almeno due cifre:

  • solo 11117 = 400 e 111113 = 121 sono quadrati;

  • molto probabilmente solo 11118 = 343 è un cubo;

  • per ogni esponente fissato le potenze sono in numero finito;

  • molto probabilmente le potenze, con qualsiasi esponente, sono in numero finito.

 

Oblàth dimostrò nel 1956 che in base 10 nessun numero formato da cifre tutte uguali è una potenza, a parte i casi banali di potenze di una sola cifra, 1, 4, 8 e 9.

 

Altri risultati di questo genere sono riportati tra le somme di potenze consecutive di uno stesso numero (v. anche potenze).

 

Per quanto riguarda i numeri triangolari, esistono alcune famiglie note:

  • in qualsiasi base 1 è banalmente triangolare;

  • tutti i numeri triangolari Tn sono pluriunitari di 2 cifre in base Tn – 1;

  • tutti i numeri pluriunitari in base 9 sono triangolari, perché un numero pluriunitario di n cifre in base 9 è Numero pluriunitario di n cifre in base 9, uguale a un numero triangolare (per esempio, per n = 4 abbiamo 11119 = 820 = T40);

  • per qualsiasi intero n maggiore di 1, se Formula per il calcolo di b, 111b = Tm è triangolare, con Formula per il calcolo di m (per esempio, per n = 3 abbiamo 11155 = 3081 = T78);

  • per qualsiasi intero n maggiore di 1, se Formula per il calcolo di b, 111b = Tm è triangolare, con Formula per il calcolo di m (per esempio, per n = 2 abbiamo 11126 = 703 = T37).

A parte questi casi, i numeri pluriunitari triangolari sono rarissimi e potrebbero essere in numero finito; tra le basi fino a 1000 e i numeri pluriunitari fino a 1000 cifre si conoscono solo (M. Fiorentini, 2014):

  • in base 2 i numeri 11112 = 15 = T5 e 1111111111112 = 4095 = T90;

  • in base 23 il numero 111123 = 12720 = T159.

 

José María Grau Ribas e Florian Luca dimostrarono nel 2011 che nessun numero pluriunitario in basi da 2 a 1000 è un numero di Lehmer (II).

 

Un’area di ricerca piuttosto attiva è la scomposizione dei numeri pluriunitari in fattori primi; i risultati teorici sono molto pochi e la ricerca è condotta grande a un massiccio impiego di calcolatori elettronici (v. anche numeri di Cunningham).

 

In qualsiasi base un numero formato da n cifre 1 ha un fattore primo che divide n o è della forma kn + 1 (W.M. Snyder, 1982).

 

In qualsiasi base se p è primo, i fattori primi del numero formato da p cifre 1 hanno hanno la forma 2kp + 1.

 

In base 10 il minimo numero pluriunitario multiplo di un quadrato è 111111111 = 32 • 37 • 333667.

 

In generale in base b tutti i pluriunitari con numero delle cifre multiplo di (b – 1)2 sono multipli di (b – 1)2.

 

Una proprietà notevole del numero pluriunitario (10^38 – 1) / 9, formato da 38 cifre 1, è che tutti i suoi fattori primi, 11, (10^19 – 1) / 9(10^19 + 1) / 9 sono primi unici. Perché un numero della forma (10^(2 * p) – 1) / 9, con p primo, abbia questa proprietà, è necessario che sia (10^p – 1) / 9, sia (10^p + 1) / 9 siano primi unici ed è estremamente improbabile che esista un altro primo con questa proprietà, oltre a 19.

 

Sono anche stati esaminati i numeri pluriunitari i rappresentazioni meno usuali.

 

In base fattoriale un numero pluriunitario è la somma di fattoriali consecutivi a partire da 1; nessuno è primo (a partire da 11fattoriale = 3 sono tutti multipli di 3), solo 1 e 111fattoriale = 9 sono quadrati, nessuno, a parte 1, è una potenza con esponente superiore a 2.

 

Utilizzando la rappresentazione di Fibonacci (v. numeri di Fibonacci), un numero pluriunitario di n cifre è la somma dei primi n numeri di Fibonacci, quindi è Fn + 2 – 1; gli unici valori di n fino a 10000 che producono un numero primo sono n = 2 e 4; solo per n = 3 si ha un quadrato e per nessun valore di n si hanno cubi.

Bibliografia

  • Andreescu, Titu;  Andrica, Dorin;  Feng, Zuming;  104 Number Theory Problems, Boston, Birkäuser, 2007 -

    Raccolta di problemi utilizzati per agli allenamenti della squadra statunitense per le Olimpiadi di Matematica.

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.

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