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Complessi (numeri)

Algebra  Analisi 

Sono i numeri della forma a + ib, con a e b reali, dove Definizione dell'unità immaginaria è l’unità immaginaria.

 

L’insieme dei numeri complessi è indicato con il simbolo â„‚ (dalla lettera iniziale di “complex”, ossia “complesso”), come proposto nel 1939 da Nathan Jacobson (Varsavia, 5/10/1910 – Hamden, USA, 5/12/1999).

 

I numeri complessi costituiscono un campo chiuso rispetto alle quattro operazioni, all’elevamento a potenza e all’estrazione di radice.

Costituiscono inoltre un campo algebricamente chiuso, perché tutte le soluzioni delle equazioni a coefficienti complessi sono complesse.

 

Per secoli i matematici cercarono, con un certo successo, di evitarli come la peste: estrarre la radice quadrata di un numero negativo era semplicemente considerata come un’operazione impossibile, come la divisione per zero, e se un’equazione di secondo grado conduceva a una radice del genere, l’equazione era considerata impossibile.

 

Il primo che abbia lasciato traccia d’essersi imbattuto in essi fu Erone da Alessandria, che nel calcolare il volume di una porzione (impossibile) di piramide compresa tra due piani paralleli, si ritrovò col valoreValore che contiene la radice quadrata di un numero negativo e si limitò a considerare l’espressione sotto radice come positiva, arrivando a un risultato sbagliato.

Altri dopo di lui risolsero problemi che comportavano l’estrazione di radice quadrata di numeri negativi commettendo analoghi grossolani errori o più semplicemente considerando insolubile il problema.

 

Nicolas Chuquet, nel suo manoscritto Le Triparty del 1484, pose il problema di cercare il numero il cui triplo sia uguale al suo quadrato più 4, ossia, in termini moderni, di risolvere l’equazione 3x = x2 + 4, arrivò correttamente alla soluzione Valore che contiene la radice quadrata di un numero negativo e concluse che non esiste soluzione, perché questi numeri sono “impossibili”.

 

L’approccio era normale, e in parte giustificabile, perché le soluzioni complesse di equazioni di secondo grado non corrispondevano a realtà fisiche e potevano essere scartate. I guai arrivarono con le equazioni di terzo grado: il metodo per la soluzione di tali equazioni, dovuto a Scipione del Ferro e poi divulgato da Cardano e Tartaglia, utilizza, infatti, radici quadrate di numeri che possono essere anche negativi, che però talvolta scompaiono dal risultato finale. Il problema era quindi che erano richiesti nella soluzione di equazioni perfettamente risolubili, che alla fine avevano solo soluzioni reali.

Per esempio, la formula di Tartaglia per risolvere l’equazione x3x = 0 porta a Valore che contiene la radice quadrata di un numero negativo, che si semplifica, producendo la corretta soluzione x = 1.

 

I numeri complessi furono quindi introdotti nella matematica solo nel XVI secolo, ma considerati a lungo con estrema diffidenza. I matematici più audaci, come Cardano e Bombelli, li ammettevano all’inizio nei calcoli intermedi, soprattutto per risolvere equazioni di terzo grado, trattandoli “come se” tali astrusità esistessero, nella speranza di poterli semplificare ed eliminare dal risultato finale: se così non era le corrispondenti soluzioni erano scartate.

 

Cardano nell’ Ars Magna (1545) considerò il problema di trovare due numeri con somma 10 e prodotto 40; trovò correttamente le soluzioni Soluzione complessa del problema di Cardano e Soluzione complessa del problema di Cardano, tuttavia le considerò una curiosità e segnalò al lettore che: “Queste quantità sono ‘innaturali’” e che “continuare a operare su di esse sarebbe così sottile da essere inutile”. La sua diffidenza derivava dal fatto che un numero di tale sorta non è né positivo né negativo, ma di un misterioso terzo tipo (quaedam tertia natura abscondita) e tuttavia lavorando come altri matematici italiani contemporanei, in particolare Scipione del Ferro (Bologna 6/2/1465 – Bologna 5/11/1526) e Nicolò Tartaglia (Brescia, 1499 – Venezia, 13/12/1447), sulla soluzione di equazioni di terzo grado si trovava a doverli usare, in calcoli intermedi, per scoprire che alla fine scomparivano, lasciando una soluzione reale e corretta.

 

Cardano finì con l’usare questi numeri, che chiamava ”negativi sofistici” o “fittizi”, ma solo come un artificio per arrivare al risultato corretto.

 

 

Tra le difficoltà che i primi esploratori del nuovo territorio incontrarono, v’era il fatto che i numeri complessi sembravano violare l’identità Identità che contiene radici quadrate perché Apparente violazione dell'identità per il prodotto di radici quadrate. In realtà non era stato ben compreso che l’identità di partenza vale solo per a e b non negativi. Tuttora l’uso improprio dell’identità è alla base di varie “dimostrazioni” assurde e di infiniti errori degli studenti.

 

Bombelli nella sua Algebra (1572), pubblicata solo due anni dopo la seconda edizione dell'Ars Magna, fu il primo a indicare come trattarli nelle quattro operazioni e a maneggiarli con una certa disinvoltura.

 

Ancora Newton calcolava correttamente radici complesse di equazioni, ma le considerava radici impossibili.

 

Eulero fu il primo matematico a fare un uso generalizzato e senza pregiudizi dei numeri complessi; è significativo che si debba a lui quella che è considerata la più bella formula dell’Analisi: e + 1 = 0, che riunisce i 5 numeri più importanti della matematica, vale a dire 0, 1, i,π ed e.

 

I matematici iniziarono ad accettarli quando ad essi venne data un’intepretazione geometrica, facendo corrispondere al numero z = x + iy il punto del piano di coordinate (x, y).

Eulero mostrò che un numero complesso z può essere scritto come |z|(cosθ + i sinθ) = |z|e e che di fatto ciò equivale a passare nel piano complesso dalle coordinate cartesiane a quelle polari.

 

Meno comune è la rappresentazione di un numero complesso z = x + iy come matrice: Rappresentazione di un numero complesso tramite matrice; questa rappresentazione conserva le proprietà rilevanti rispetto alle quattro operazioni, alla coniugazione e al modulo e in particolare Modulo di un numero complesso come determinante della matrice che lo rappresenta.

 

Il coniugato di un numero complesso si ottiene cambiando il segno della parte immaginaria: (x + iy) = x – iy.

 

La parte reale di un numero complesso z = x + iy è Parte reale di un numero complesso e la parte immaginaria è Parte immaginaria di un numero complesso, mentre il prodotto tra z e il suo coniugato è sempre un numero reale positivo: zz = x2 + y2.

 

Il modulo di un numero complesso è Modulo di un numero complesso.

 

Somma e differenza dei numeri complessi si calcolano sommando o sottraendo separatamente le parti reale e immaginaria: x ± y = (a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d).

Il prodotto si calcola come un prodotti di binomi, semplificando poi i2 = –1: xy = (a + ib)(c + id) = ac + i2bd + iab + ibc = (acbd)+ i (ad + bc).

Più complicato calcolare il quoziente tra numeri complessi, se, come di consueto, si desiderano denominatori reali: Quoziente tra due numeri complessi.

 

La formula di De Moivre permette di semplificare il calcolo di potenze di numeri complessi, partendo dalla formula di Eulero: zn = |z|einθ = |z|n(cosnθ + i sinnθ). Per esponenti interi le potenze possono anche essere calcolate tramite la formula del binomio: Formula per le potenze di un binomio.

 

L’elevamento a potenza con esponente complesso è definito come zw = ewlogz, dove la funzione esponenziale è definibile tramite la consueta serie Formula per exp(z) e il logaritmo può essere definito facendo riferimento alla formula di Eulero come logz = log|z| + iθ.

  • Cardano nell’ Ars Magna (1545) considerò il problema di trovare due numeri con somma 10 e prodotto 40; trovò correttamente la soluzione e , tuttavia la considerò una curiosità e segnalò al lettore che: “Queste quantità sono ‘innaturali’” e che “continuare a operare su di esse sarebbe così sottile da essere inutile”. La sua diffidenza derivava dal fatto che un numero di tale sorta non è né positivo né negativo, ma di un misterioso terzo tipo (quaedam tertia natura abscondita) e tuttavia lavorando come altri matematici italiani contemporanei, in particolare Scipione del Ferro (Bologna 6/2/1465 – Bologna 5/11/1526) e Nicolò Tartaglia (Brescia, 1499 – Venezia, 13/12/1447), sulla soluzione di equazioni di terzo grado si trovava a doverli usare, in calcoli intermedi, per scoprire che alla fine scomparivano, lasciando una soluzione reale e corretta.

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Livio, Mario;  L’equazione impossibile, Milano, BUR, 2006.
  • Mazur, Barry;  Imagining Numbers, New York, Farrar, Straus and Giroux, 2003.

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