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Bicomplessi (numeri)

Algebra 

I numeri bicomplessi costituiscono un’algebra quadrimensionale associativa e commutativa sui reali, analoga a quella dei quaternioni. Si ottengono aggiungendo ai reali tre numeri: i, j e k non nulli, né positivi né negativi né reali, diversi da 1 e tra loro.

 

Un numero bicomplesso si esprime quindi come a + bi + cj + dk, con a, b, c e d reali.

 

Furono introdotti da Corrado Segre (20/8/1863 – 18/5/1924) nel 1892.

 

Nelle moltiplicazioni le tre “unità” aggiuntive soddisfano le relazioni:

  • ij = ji = k;

  • ik = ki = –j;

  • jk = kj = i;

  • i2 = –1;

  • j2 = 1;

  • k2 = –1.

 

Da queste si deduce che ijk = –1.

 

Dalle proprietà della motiplicazione segue anche che a + bi + cj + dk = (a + bi) + j(c + di), ovvero che i bicomplessi equivalgono alla combinazione lineare di due numeri complessi, moltiplicati per 1 e j, giustificandone il nome.

 

Si può definire il “coniugato” di un numero bicomplesso x = a + bi + cj + dk come x = a – bi + cj – dk.

 

Il modulo di un numero bicomplesso è definito come il prodotto tra il numero e il suo coniugato, quindi il modulo di x = a + bi + cj + dk è xx = a2 + b2 + c2 + d2 e come per reali, complessi e quaternioni non può essere negativo ed è una norma.

 

Le proprietà di i, j e k ci permettono di definire le operazioni sui numeri bicomplessi:

 

  • (a + bi + cj + dk) ± (e + fi + gj + hk) = (a ± e) + (b ± f)i + (c ± g)j + (d ± g)k;

  • (a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk) = (aebf + cgdh) + (af + be + ch + dg)i + (agbh + cedf)j + (ah + bg + cf + de)k;

  • Formula per la divisione di numeri bicomplessi, per e2 + f2 + g2 + h2 diverso da zero (non è possibile la divisione per un numero bicomplesso con modulo nullo).

 

Un numero bicomplesso a + bi + cj + dk può anche essere rappresentato tramite la matrice Rappresentazione matriciale dei numeri bicomplessi, conservando le proprietà delle operazioni.

 

Il teorema fondamentale dell’algebra dei bicomplessi, dimostrato nel 2009, afferma che un polinomio di grado n con coefficienti bicomplessi ha n2 radici (non necessariamente distinte).

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