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Multicomplessi (numeri)

Algebra 

I numeri multicomplessi sono una generalizzazione dei numeri complessi, diversa da ipercomplessi e numeri di Cayley.

 

Come un numero complesso z è esprimibile come somma di due numeri reali, uno dei quali moltiplicato per l’unità immaginaria, z = x + iy, così un numero multicomplesso è la somma di due numeri (multi)complessi, uno dei quali moltiplicato per un’unità immaginaria, ovvero z = z1 + i1z2.

Le unità immaginarie in sono diverse per ogni “generazione” di multicomplessi, condividono tutte la proprietà che il loro quadrato è –1, ma non soddisfano altre particolari identità; in particolare, il prodotto di due unità diverse non è una terza unità, come invece accade per quaternioni e ipercomplessi.

Possiamo così costruire i numeri bicomplessi a partire dai complessi: z = z1 + i1z2 = (x1 + i1y1) + i2(x2 + i1y2) = x1 + i1y1 + i2x2 + i1i2y2.

Partendo da due numeri bicomplessi e da una nuova unità immaginaria i3 si possono poi costruire i numeri tricomplessi e così via.

Un numero n-complesso ha 2n – 1 componenti complesse o 2n componenti reali.

 

Somma e prodotto di due numeri multicomplessi si calcolano come somme e prodotti di polinomi, semplificando solo i quadrati delle unità immaginarie: dati w = w1 + ikw2 e z1 + ikz2, vale w + z = (w1 + z1) + ik(w2 + z2) e wz = (w1 + ikw2)(z1 + ikz2) = (w1z1w2z2) + ik(w1z2 + w2z1), applicando poi ricorsivamente le regole per i multicomplessi di ordine inferiore, sino ad arrivare ai reali.

 

A differenza di quanto accade con ipercomplessi e numeri di Cayley, addizione e moltiplicazione tra multicomplessi sono associative e commutative, tuttavia i multicomplessi non formano un anello, perché esistono divisori dello zero, ossia è possibile che wz = 0, pur essendo w e z diversi da 0, per esempio se se w = 1 + ikik + 1 e z = 1 – ikik + 1, dove i0 = 1.

 

Un numero multicomplesso può essere rappresentato tramite una matrice 2n – 1 × 2n – 1 di numeri complessi o una matrice 2n × 2n di reali. Per esempio, un numero bicomplesso z1 + i2z2 = x0 + i1x1 + i2x2 + i1i2x12 può essere rappresentato come Rappresentazione di numeri multcomplessi tramite una matrice di numeri complessi o come Rappresentazione di numeri multcomplessi tramite una matrice di numeri reali, mantenendo le proprietà fondamentali di addizione e moltiplicazione.

 

Furono definiti e studiati per la prima volta nel 1892 da Corrado Segre, ma rimasero per un secolo un curioso esempio di algebra strana. Nel 1991 G. Bayley Price esaminò le funzioni definibili su di essi e in seguito trovarono interessanti applicazioni nell’analisi numerica.

Bibliografia

  • Dargent, T.;  Lantoine, G.;  Russell, R.P.;  "Using multicomplex Variables for Automatic Computation of High-Order Derivatives" in ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 38, n. 3, 2012..

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