Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Chebyshev di seconda specie (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Chebyshev di seconda specie sono definiti ricorsivamente come: U0(x) = 1, U1(x) = 2x, Un + 1(x) = 2xUn(x) – Un – 1.

 

Possono anche essere definiti come soluzione dell’equazione differenziale di Chebyshev (1 – x2)y” – 3xy’ + n(n + 2)y = 0.

 

Sono importanti in analisi numerica, perché permettono eccellenti approssimazioni polinomiali alle funzioni.

 

Il polinomio di Chebyshev di seconda specie Un(x) è un polinomio di grado n a coefficienti interi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 2n; ha solo termini di grado pari, se n è pari, solo di grado dispari, se n è dispari e i segni dei termini si alternano. E’ una funzione pari per n pari e dispari per n dispari.

 

Alcune formule per calcolarli:

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie;

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie;

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie;

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie, per n > 0;

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie per n pari e Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie per n dispari, dove Tn(x) è un polinomio di Chebyshev di prima specie;

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie;

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie;

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie;

Formula per il calcolo dei polinomi di Chebyshev di seconda specie.

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi di Chebyshev di seconda specie:

Un(1) = n + 1;

Un(–1) = (–1)n(n + 1);

Formula che coinvolge i polinomi di Chebyshev di seconda specie;

Un(x) = xUn – 1(x) + Tn(x);

2xUn(1 – 2x2) = (–1)nU2n + 1(x);

Formula che coinvolge i polinomi di Chebyshev di seconda specie, per mn;

Formula per lòa derivata dei polinomi di Chebyshev di seconda specie, dove per |x| = 1 bisogna prendere il limite cui tende il rapporto;

Formula per l'integrale dei polinomi di Chebyshev di seconda specie;

Un(x)2Un + 1(x)Un – 1(x) = 1 > 0 (diseguaglianza di Turán);

 

I polinomi di Chebyshev di seconda specie sono ortogonali rispetto alla funzione di peso Funzione di peso dei polinomi di Chebyshev di seconda specie, quindi Formula che dimostra l'ortogonalità dei polinomi di Chebyshev di seconda specie

Inoltre Formula che coinvolge i polinomi di Chebyshev di seconda specie e Formula che coinvolge i polinomi di Chebyshev di seconda specie, dove i vari xk sono gli s zeri di Ts(x) nell’intervallo [0 .. 1] e Formula che coinvolge i polinomi di Chebyshev di seconda specie, Formula che coinvolge i polinomi di Chebyshev di seconda specie, dove i vari xk sono gli s zeri di Us(x) nell’intervallo [0 .. 1].

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Chebyshev di seconda specie, ovvero Funzione generatrice dei polinomi di Chebyshev di seconda specie.

 

Nell’intervallo [0 .. 1] Un(x) si annulla per Zeri dei polinomi di Chebyshev di seconda specie, per k da 1 a n.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Chebyshev di seconda specie.

 

Grafico dei primi polinomi di Chebyshev di seconda specie 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Chebyshev di seconda specie.

n

Un(x)

0

1

1

2x

2

4x2 – 1

3

8x3 – 4x

4

16x4 – 12x2 + 1

5

32x5 – 32x3 + 6x

6

64x6 – 80x4 + 24x2 – 1

7

128x7 – 192x5 + 80x3 – 8x

8

256x8 – 448x6 + 240x4 – 40x2 + 1

9

512x9 – 1024x7 + 672x5 – 160x3 + 10x

10

1024x10 – 2304x8 + 1792x6 – 560x4 + 60x2 – 1

11

2048x11 – 5120x9 + 4608x7 – 1792x5 + 280x3 – 12x

12

4096x12 – 11264x10 + 11520x8 – 5376x6 + 1120x4 – 84x2 + 1

13

8192x13 – 24576x11 + 28160x9 – 15360x7 + 4032x5 – 448x3 + 14x

14

16384x14 – 53248x12 + 67584x10 – 42240x8 + 13440x6 – 2016x4 + 112x2 – 1

15

32768x15 – 114688x13 + 159744x11 – 112640x9 + 42240x7 – 8064x5 + 672x3 – 16x

16

65536x16 – 245760x14 + 372736x12 – 292864x10 + 126720x8 – 29568x6 + 3360x4 – 144x2 + 1

17

131072x17 – 524288x15 + 860160x13 – 745472x11 + 366080x9 – 101376x7 + 14784x5 – 960x3 + 18x

18

262144x18 – 1114112x16 + 1966080x14 – 1863680x12 + 1025024x10 – 329472x8 + 59136x6 – 5280x4 + 180x2 – 1

19

524288x19 – 2359296x17 + 4456448x15 – 4587520x13 + 2795520x11 – 1025024x9 + 219648x7 – 25344x5 + 1320x3 – 20x

20

1048576x20 – 4980736x18 + 10027008x16 – 1114120x14 + 7454720x12 – 3075072x10 + 768768x8 – 109824x6 + 7920x4 – 220x2 + 1

 

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.