Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Chebyshev di prima specie (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Chebyshev di prima specie sono definiti ricorsivamente come: T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn + 1(x) = 2xTn(x) – Tn – 1 o equivalentemente Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie.

 

Possono anche essere definiti come soluzione dell’equazione differenziale di Chebyshev (1 – x2)y” – xy’ + n2y = 0. La soluzione può essere espressa come Soluzione dell'equazione di Chebyshev o Soluzione dell'equazione di Chebyshev o ancora Soluzione dell'equazione di Chebyshev, dove a1, a2, b1, b2, c1, c2, sono parametri che dipendono dalle condizioni iniziali e Un(x) è un polinomio di Chebyshev di seconda specie.

 

Sono normalizzati in modo che Tn(1) = 1.

 

Il polinomio di Chebyshev di prima specie Tn(x) è un polinomio di grado n a coefficienti interi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 2n – 1, per n > 0; ha solo termini di grado pari, se n è pari, solo di grado dispari, se n è dispari e i segni dei termini si alternano. E’ una funzione pari per n pari e dispari per n dispari.

 

I polinomi di Chebyshev sono importanti in analisi numerica, perché permettono eccellenti approssimazioni polinomiali di funzioni. Una funzione può infatti essere espressa come serie di Chebyshev, ovvero somma di polinomi di Chebyshev: Espressione di una funzione tramite serie di Chebyshev e troncando la somma si possono ottenere ottime approssimazioni, almeno in un intervallo fissato.

Dato che un cambio di variabili trasforma le serie di Chebyshev in serie di Fourier, tutte le identità e i teoremi che valgono per queste ultime, hanno una versione corrispondente per le serie di Chebyshev. In particolare:

  • i polinomi di Chebyshev di prima specie costituiscono un sistema di polinomi ortogonali completo;

  • la serie di Chebyshev converge se la funzione è continua e infinitamente differenziabile per intervalli;

  • nei punti di discontinuità la serie converge alla media tra il limite destro e quello sinistro.

 

Definizioni alternative:

Tn(x) = cos(ncos-1x) = cosh(ncosh-1x);

Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie;

Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie, per n > 0;

Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie;

Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie, per n > 0;

Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie;

Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie;

Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie;

Formula per la definizione dei polinomi di Chebyshev di prima specie, dove il contorno circonda l’origine ed è percorso in senso antiorario.

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi di Chebyshev di prima specie:

Tn(1) = 1;

Tn(–1) = (–1)n;

Tn(cosθ) = cos(nθ);

T2n + 1(sinθ) = (–1)nsin((2n + 1)θ);

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie;

T2n + 1(x) = 2Tn + 1(x)Tn(x) – x;

T2n – 1(x) = 2Tn – 1(x)Tn(x) – x;

(x – 1)(T2n + 1(x) – 1) = (Tn + 1(x) – Tn(x))2;

2(x2 – 1)(T2n(x) – 1) = (Tn + 1(x) – Tn – 1(x))2;

Tn(Tm(x)) = Tm(Tn(x)) =Tnm(x);

Tn(1 – 2x2) = (–1)nT2n(x);

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie;

Tn(x)2Tn + 1(x)Tn – 1(x) = 1 – x2 > 0, per –1 < x < 1 (diseguaglianza di Turán);

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie, per m e n maggiori di zero;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie, per n maggiore di zero;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie.

 

Alcune relazioni con i polinomi di Chebyshev di seconda specie Un(x):

Tn(x) = Un(x) – xUn – 1(x);

Un(x) = xUn – 1(x) + Tn(x);

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie;

Tn + 1(x) = xTn(x) + (x2 – 1)Un – 1(x);

Tn(x)2 – (x2 – 1)Un – 1(x)2 = 1;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie;

se z = a + ib, Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie, per n > 0;

Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie, dove per |x| = 1 bisogna prendere il limite cui tende il rapporto.

 

I polinomi di Chebyshev di prima specie sono ortogonali rispetto alla funzione di peso Funzione di peso per i polinomi di Chebyshev di prima specie, quindi Formula che dimostra l'ortogonalità dei polinomi di Chebyshev di prima specie

Inoltre Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie, dove i vari xk sono gli s zeri di Ts(x) nell’intervallo [0 .. 1].

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Chebyshev di prima specie, ovvero Formula per la funzione generatrice dei polinomi di Chebyshev di prima specie per |x| ≤ 1 e |t| < 1.

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei polinomi di Chebyshev di prima specie, ovvero Formula per la funzione generatrice esponenziale dei polinomi di Chebyshev di prima specie. Inoltre Formula che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie.

 

Nell’intervallo [0 .. 1] Tn(x) si annulla per Zeri dei polinomi di Chebyshev di prima specie nell'intervallo [0 .. 1] e ha estremi di valore assoluto 1 per Estremi dei polinomi di Chebyshev di prima specie nell'intervallo [0 .. 1], per k da 1 a n.

 

Le n soluzioni dell’equazione Tn(x) = x sono tutte nell’intervallo [–1 .. 1] e sono date dalle formule x = cos(2 * π * k / (n – 1)), per k da 1 a n – 1, e x = cos(2 * π * k / (n + 1)), per k da 1 a n + 1, eliminando le duplicazioni.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Chebyshev di prima specie.

 

Grafico dei primi polinomi di Chebyshev di prima specie

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Chebyshev di prima specie.

n

Tn(x)

0

1

1

x

2

2x2 – 1

3

4x3 – 3x

4

8x4 – 8x2 + 1

5

16x5 – 20x3 + 5x

6

32x6 – 48x4 + 18x2 – 1

7

64x7 –112x5 + 56x3 – 7x

8

128x8 – 256x6 + 160x4 – 32x2 + 1

9

256x9 – 576x7 + 432x5 – 120x3 + 9x

10

512x10 – 1280x8 + 1120x6 – 400x4 + 50x2 – 1

11

1024x11 – 2816x9 + 2816x7 – 1232x5 + 220x3 – 11x

12

2048x12 – 6144x10 + 6912x8 – 3584x6 + 840x4 – 72x2 + 1

13

4096x13 – 13312x11 + 16640x9 – 9984x7 + 2912x5 – 364x3 + 13x

14

8192x14 – 28672x12 + 39424x10 – 26880x8 + 9408x6 – 1568x4 + 98x2 – 1

15

16384x15 – 61440x13 + 92160x11 – 70400x9 + 28800x7 – 6048x5 + 560x3 – 15x

16

32768x16 – 131072x14 + 212992x12 – 180224x10 + 84480x8 – 21504x6 + 2688x4 – 128x2 + 1

17

65536x17 – 278528x15 + 487424x13 – 452608x11 + 239360x9 – 71808x7 + 11424x5 – 816x3 + 17x

18

131072x18 – 589824x16 + 1105920x14 – 1118208x12 + 658944x10 – 228096x8 + 44352x6 – 4320x4 + 162x2 – 1

19

262144x19 – 1245184x17 + 2490368x15 – 2723840x13 + 1770496x11 – 695552x9 + 160512x7 – 20064x5 + 1140x3 – 19x

20

524288x20 – 2621440x18 + 5570560x16 – 6553600x14 + 4659200x12 – 2050048x10 + 549120x8 – 84480x6 + 6600x4 – 200x2 + 1

 

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.