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Intoccabili (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “intoccabili” i numeri naturali che non sono la somma dei divisori propri (escluso cioè il numero stesso) di alcun numero. In altri termini, sono i numeri n tali che non esiste alcun intero k per il quale valga n = σ(k) – k.

 

Inumeri intoccabili minori di 1000 sono: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 708, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 926, 934, 936, 964, 966, 976, 982, 996.

Qui trovate i numeri intoccabili minori di 60000 (Klaus Brockhaus,The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Erdös dimostrò nel 1973 che una frazione finita dei numeri naturali è intoccabile. Y.-G. Chen e Q.-Q. Zhao dimostrarono nel 2011 che tale frazione è almeno il 6%, ma non è noto se tenda a un limite.

 

Tra i numeri intoccabili si conoscono vari quadrati; quelli inferiori a 10000 sono: 324, 576, 784, 1296, 2304, 2500, 2704, 3136, 3600, 4356, 5184, 6084, 7056, 8100, 9216.

Qui trovate i quadrati intoccabili minori di 106 (Donovan Johnson,The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Se è vera una versione leggermente più forte della congettura di Goldbach, che afferma che ogni numero pari maggiore di 6 si può esprimere come somma di due primi distinti, 5 è l’unico numero intoccabile dispari e quindi 2 e 5 sono gli unici numeri intoccabili primi. Infatti come conseguenza della congettura, un numero dispari maggiore di 7 si può sempre scrivere come p + q + 1, con p e q primi distinti, ed è la somma dei divisori propri di pq.

 

Nessun numero della forma p + 1 con p primo è intoccabile, perché la somma dei divisori propri di p2 è p + 1.

 

Nessun numero della forma p + 3 con p primo è intoccabile, perché la somma dei divisori propri di 2p è p + 3.

 

I numeri intoccabili sono poco frequenti tra i primi numeri naturali, ma in generale non sono affatto rari, come mostra la tabella seguente (M. Fiorentini, 2016).

n

Numeri intoccabili minori di n

10

2

100

5

1000

89

10000

1212

100000

13863

1000000

150232

10000000

1574973

100000000

16246940

1000000000

165826606

 

Ben poco si sa sulla distribuzione dei numeri intoccabili; in particolare non è noto se la differenza tra numeri intoccabili consecutivi possa essere arbitrariamente grande e se esistano sequenze di lunghezza arbitraria di numeri intoccabili pari consecutivi.

 

La tabella seguente mostra la minima sequenza di n numeri intoccabili pari consecutivi, per n fino a 21 (M. Fiorentini, 2016).

n

Primo numero della minima sequenza di almeno n numeri intoccabili pari consecutivi

Primo numero della minima sequenza di esattamente n numeri intoccabili pari consecutivi

1

2

2

2

246

246

3

288

288

4

892

892

5

9020

9020

6

11456

11456

7

23480

23480

8

33686

52274

9

33686

33686

10

190070

190070

11

1668564

1741876

12

1668564

1668564

13

7806762

7806762

14

12101966

12101966

15

65427040

65427040

16

234365008

234365008

17

260170242

324851478

18

260170242

260170242

19

453194244

?

20

453194244

453194244

21

788740886

788740886

 

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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