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Bell (polinomi di) (II)

Matematica combinatoria  Polinomi 

Sono chiamati “polinomi di Bell” anche i polinomi Bn, k(x1, x2, … xnk + 1), definiti come Formula per la definizione dei polinomi di Bell.

Sono polinomi omogenei di grado n con n – k + 1 variabili, a coefficienti interi.

Sono talvolta chiamati anche “polinomi incompleti di Bell”.

 

Sono legati al numero di modi di suddividere oggetti distinti in sottoinsiemi, nel senso che i coefficienti dei vari monomi che compongono Bn, k indicano il numero di possibili suddivisioni di n oggetti in k sottoinsiemi.

Per esempio, Esempio di polinomio di Bell e 6 oggetti possono essere suddivisi in 2 sottoinsiemi:

  • in 6 modi con un insieme che ne contiene 1 e uno che ne contiene 5;

  • in 15 modi con un insieme che ne contiene 2 e uno che ne contiene 4;

  • in 10 modi con due insiemi, ciascuno dei quali ne contiene 3.

Analogamente Esempio di polinomio di Bell, e 6 oggetti possono essere suddivisi in 3 sottoinsiemi:

  • in 15 modi con due insiemi che ne contengono 1 ciascuno e uno che ne contiene 4;

  • in 60 modi con un insieme che ne contiene 1, uno che ne contiene 2 e uno che ne contiene 3;

  • in 15 modi con tre insiemi, ciascuno dei quali ne contiene 2.

 

Alcuni valori particolari:

Valore particolare di polinomi di Bell;

Valore particolare di polinomi di Bell;

Valore particolare di polinomi di Bell, dove L(n, k) è un numero di Lah.

 

Tra le applicazioni, va ricordata la formula di Faà di Bruno (1855), che generalizza la formula per la derivata di una funzione di funzione a derivate di ordine superiore e che che si può scrivere come Formula di Faa di Bruno.

La formula in realtà era stata dimostrata oltre 50 anni prima da Louis François Antoine Arbogast.

 

Se Formula per la definizione della funzione f tramite una serie di potenze e Formula per la definizione della funzione g tramite una serie di potenze, Formula per la composizione delle funzioni f e g.

Vedi anche

Polinomi di Bell (I).

Bibliografia

  • Faà di Bruno, Francesco;  "Sullo sviluppo delle funzioni" in Annali di Scienze Matematiche e Fisiche, n. 6, pag. 479 – 480, 1855.

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