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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà legate ai divisori

τ(n) è la funzione tau di Ramanujan. I valori della funzione sono anche chiamati “numeri di Ramanujan”.

Il matematico indiano si imbattè nella funzione perché coinvolta in un’espressione per r24(n), la giudicò interessante di per sé e ne approfondì l’analisi.

La sua definizione originale si basa sulla funzione generatrice: Funzione generatrice della funzione τ.

In altre parole, il valore di τ(n) è il coefficiente di xn nell’espansione del prodotto infinito x(1 + x)(1 + x2)(1 + x3)..., elevato alla ventiquattresima potenza.

La scelta della potenza, apparentemente arbitraria, fa sembrare questa una funzione scelta a caso per costruire un esercizio di analisi, mentre invece la funzione ha profondi legami con la teoria dei numeri interi.

 

Alcune formule per calcolare la funzione:

Formula per il calcolo della funzione τ (Ramanujan);

Formula per il calcolo della funzione τ, per n > 1 (Ramanujan);

Formula per il calcolo della funzione τ (Lehmer);

Formula per il calcolo della funzione τ, per p primo (Gandhi, 1961);

τ(npk) = τ(p)τ(npk – 1) – p11τ(npn – 2), per p primo, k > 1 e n non divisibile per p (Mordell, 1917);

 

Ramanujan avanzò alcune congetture su questa funzione, quasi tutte rivelatesi corrette, che hanno però richiesto grandi sforzi per essere provate; oltre a quelle sulle congruenze, le più famose sono:

  • τ(mn) = τ(m)τ(n) se n e m non hanno divisori comuni, quindi la funzione è moltiplicativa;

  • τ(pn + 1) = τ(p)τ(pn) – p11τ(pn – 1), se n > 0 e p è primo;

  • Formula per una congettura di Ramanujan sulla funzione τ, per s > 7;

  • Formula per una congettura di Ramanujan sulla funzione τ, per p primo, quindi la funzione τ non cresce più velocemente di n^(11 / 2) e in particolare Formula per una congettura di Ramanujan sulla funzione τ, per ogni valore di ε maggiore di 0.

Le prime tre furono dimostrate nel 1917 da Mordell, la quarta nel 1974 da Deligne, che vinse per questo la Field Medal, l’equivalente del premio Nobel per la matematica.

 

La funzione è collegata alla funzione σk in modo assolutamente inatteso:

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk (D.H. Lehmer, 1959);

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk (D. Lanphier, 2004);

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk (D. Lanphier, 2004);

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk (J. Touchard, 1953);

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk (Niebur, 1975);

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk (D.H. Lehmer, 1959);

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk;

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk;

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk, per n dispari, dove Formula per la definizione della funzione σ–;

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk, per p primo;

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk, per p primo;

Formula che coinvolge le funzioni τ e σk, per p primo.

 

Da segnalare sei formule di John A. Ewell (la prima pubblicata nel 1984, la seconda nel 1998, le altre nel 1999), che coinvolgono le funzioni τ, σk e rk:

  • Formula che coinvolge le funzioni τ, σk e rk;

  • Formula che coinvolge le funzioni τ, σk e rk;

  • Formula che coinvolge le funzioni τ, σk e rk;

  • Formula che coinvolge le funzioni τ, σk e rk;

  • Formula che coinvolge le funzioni τ, σk e rk;

  • Formula che coinvolge le funzioni τ, σk e rk.

In queste formule, se n = 2ed con d dispari, le funzioni E e D sono definite come E(n) = e e D(n) = d.

 

Alcune proprietà della funzione:

  • Formula che coinvolge la funzione τ, dove la somma va calcolata su tutti i divisori del massimo comun divisore di n e m (Mordell 1917);

  • Formula che coinvolge la funzione τ, per n pari (Ramanujan, 1920);

  • τ(2n) + 24τ(n) = 0, per n dispari (Ramanujan, 1920);

 

Se fk(n) è una funzione che vale 0 se τ(n) è multiplo di k, 1 altrimenti, Ramanujan affermò che:

  • Formula che coinvolge la funzione τ tende a Limite cui tende la somma infinita, con Formula per C;

  • Formula che coinvolge la funzione τ; l’affermazione è stata dimostrata solo per s ≤ 3 / 2;

  • Formula che coinvolge la funzione τ tende a Limite cui tende la somma infinita, per una costante C; in seguito è stato dimostrato che Formula per C

  • Formula che coinvolge la funzione τ;

  • Formula che coinvolge la funzione τ tende a Limite cui tende la somma infinita, con Formula per C;

  • Formula che coinvolge la funzione τ;

  • Formula che coinvolge la funzione τ tende a Limite cui tende la somma infinita, con Formula per C, dove S1 è l’insieme dei primi che non sono residui quadratici modulo 23 e non sono esprimibili come a2 + 23b2 con a > 0, S2 è l’insieme dei primi esprimibili come a2 + 23b2 con a > 0 e S3 è l’insieme dei primi restanti, escluso 23;

  • Formula che coinvolge la funzione τ, dove S1, S2 e S3 sono definiti come sopra;

  • Formula che coinvolge la funzione τ tende a Limite cui tende la sommatoria per una costante C.

In queste formule i prodotti vanno calcolati per tutti e soli i primi della forma indicata. Le formule sono state dimostrate, anche se in alcuni casi i valori delle costanti indicati da Ramanujian nelle approssimazioni di ordine superiore si sono rivelati imprecisi (v. congetture di Ramanujan sulla funzione τ).

 

La funzione assume valori positivi e negativi, senza un ordine apparente nei segni, con valore assoluto in generale (ma non sempre) crescente. Lehmer congetturò nel 1947 che la funzione τ non assuma mai valore zero; nel 2007 Bosman verificò la congettura per n < 22798241520242687999 (v. congettura di Lehmer).

Il minimo argomento per il quale la funzione si annulla, se esiste, deve essere un numero primo della forma 52 • 691k – 1 e diviso per 7 deve dare resto 3, 5 o 6.

 

Gli esperti ritengono che Limite inferiore per i valori della funzione, tranne per poche eccezioni; le uniche inferiori a 106 sono: 43, 86, 121, 242, 363, 484, 605, 726, 847, 1210, 1694, 1936, 5203, 9801, 10406, 15609, 19602, 20812, 26015, 29161, 31218, 36421, 46827, 52030, 58322, 62436, 67639, 72842, 83248, 93654, 109263, 109747, 135278, 218526, 219494, 354167, 379819, 421443, 708334, 842886 (M. Fiorentini, 2014). Sono stati però fatti pochi progressi nella direzione di dimostrare il minimo valore assoluto che la funzione può produrre. M. Ram Murty, V. Kumar Murty, T.N. Shorey dimostrarono nel 1987 che se τ(n) è dispari, |τ(n)| ≥ logcn, per una costante c maggiore di zero, quindi la funzione assume ogni valore dispari solo un numero finito di volte.

 

Il valore della funzione non può comunque essere relativamente basso molto spesso, perché Limite che coinvolge la funzione τ (Rankin 1973) e più in generale Limite che coinvolge la funzione τ (F.Grupp, 1984).

 

La tabella seguente riporta i valori di τ(n) per n fino a 20.

n

τ(n)

1

1

2

–24

3

252

4

–1472

5

4830

6

–6048

7

–16744

8

84480

9

–113643

10

–115920

11

534612

12

–370944

13

–577738

14

401856

15

1217160

16

987136

17

–6905934

18

2727432

19

10661420

20

–7109760

 

Nel 2006 M.Z. Garaev, V.C. Garcia e S.V. Konyagin risolsero un problema analogo a quello di Waring (v. potenze), relativo alla funzione τ; dimostrarono cioè che ogni intero n può essere espresso come somma di 74000 valori della funzione, con argomenti minori di Limite superiore per il valore degli argomenti e che ogni intero n con valore assoluto maggiore di 1 può essere espresso come somma di 148000 valori della funzione, con argomenti minori di Limite superiore per il valore degli argomenti, per una costante c maggiore di 0.

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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